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定積分と級数 [ネコ騙し数学]

定積分と級数


問題1

  

の両辺にをかけて、右辺の積を差にあらわすことにより和を求めよ。ただし、θ≠2nπとする。

【解】

  

の両辺にをかけると

  

θ≠2nπだから

よって、

  

(解答終了)

上の計算では、三角関数の積を和(差)にかえる次の公式を使っている。

  

cosθは偶関数だから、

  

同様に、

  

の両辺にをかけることによって

  

と、この三角級数の和を求めることができる。

 


問題2 定積分の定義にしたがって次の定積分の値を求めよ。

  

【解】

閉区間[0,π]n等分し、

  

とする。

区分求積法より

  

π/n=θとおくと、問題1より

  

よって、
  

(解答終了)



問題3 nを0または正の整数とし、

  

とおくとき、次の関係を証明せよ。
  

【解】

(1)

  

とおく。

  

0<x<π/4sec²xは増加関数。

  

よって、0<α<π/4f'(α)=0となるαがただ一つ存在し、x=αのときf(x)は極小かつ最小になる。

f(0)=f(π/4)=0だから、0<x<π/4のときf(x)<0

したがって、

  


(2) 0<x<π/4において

  

したがって、

  


(3)

  

(4) n=2kとし(3)の結果を利用すると、

  

したがって、

(2)から

  

だから、

  

(解答終了)

タグ:微分積分

陰解法で非定常1次元熱伝導方程式を解いてみた [ネコ騙し数学]

いま、表計算ソフトで解いた熱伝導方程式を解くFortranのプログラムを作っているんだけれど、
ネムネコが予想したほど精度が出ていないケロ。
もっといい精度で計算できると思っていたんだけれど、(純)陰解法だと、時間微分が1次精度ということで、Δtを小さく取らないと、あまり良い結果が出ないね。
先に表計算ソフトで計算したものとまったく同じものを、Δx=h=0.25、Δt=0.1でt=5まで計算させてみた。
こんなものといえば、こんなものなのかもしれないけれど・・・。

計算結果は、これだにゃ。さきに表計算ソフトで計算した粗い計算結果もあわせてのせてある。exactとあるのは、この微分方程式の解析解。
表計算ソフトで計算した結果は、あの乱暴な計算にも関わらず、意外にいい結果だということがわかると思う。
少なくとも、定性的には、熱伝導方程式の特徴をよく再現していた。







ただ、表計算で計算した陽解法の数値解はすこし振動している気配が・・・。数値解が解析解から離れかと思うと次は近づいているようですね。

  1次元の非定常熱伝導方程式を表計算ソフトで解く
   http://nekodamashi-math.blog.so-net.ne.jp/2016-11-20-4

上の記事で「これはα=1/2の場合」と書きましたが、α>1/2のとき、表計算で使った陽解法の解は振動する。α=1/2は陽解法の解が振動するか振動しないかの境界値。どうやら、その影響が現れているようですね。この計算はやってみて良かったにゃ。


ちょっと無駄な計算が多いプログラムと言えるのだけれど、とりあえず作ってみた程度のプログラムだからしょうないケロね。
恥ずかしいけれど、ちょっと公開してみるにゃ。

real t(0:20,0:50)
real a(20),b(20),c(20),d(20)
real k, l
t=0; a=0; b=0; c=0; d=0
n=10; m=10
l=4; k=1./2
h = l/n
time=0;
dt=0.1

! initial condition
do i=1,n-1
    x=i*h
    T(i,0) = x*(l-x)
end do

write(*,100) time, (t(i,0),i=0,n)
do j=1, m
    do i=1, n-1
        a(i)=-k/h**2
        b(i)=1/dt +2.*k/h**2
        c(i)=-k/h**2
        d(i)=t(i,j-1)/dt
    end do
    d(1)=d(1)-a(1)*t(0,j); d(n-1)=d(n-1)-c(n-1)*t(n,j)
    call tdma(a,b,c,d,n-1)
    do i=1,n-1
        t(i,j) = d(i)
    end do
    time=time+dt
    write(*,100) time, (t(i,j),i=0,n)
end do
100 format(f7.4,1x,17(f7.4,1x))
end

subroutine tdma(a,b,c,d,n)
real a(20),b(20),c(20),d(20)

do i = 1, n-1
    t= a(i+1)/b(i)
    b(i+1)=b(i+1)-t*c(i)
    d(i+1)=d(i+1)-t*d(i)
end do

d(n)=d(n)/b(n)
do i = n-1,1,-1
    d(i)=(d(i)-c(i)*d(i+1))/b(i)
end do
end




フォートランのコンパイラを持っているヒトは、お試しあれ。



さすがに、このあたりの計算になると、入出力機能がお粗末な十進BASICでの計算は辛いね。
CやFortranでないとやっぱり辛いな。

それから、
(純)陰解法のプログラムを作ってしまうと、少しの修正で、これよりも高精度のクランク=ニコルソン法の計算プログラムを作ることができるんだケロよ。

クランク=ニコルソン法ならば、こんなにΔtを小さくしなくても精度よく計算ができる。

ネムネコ、熱伝導方程式を解く [ネコ騙し数学]

ネムネコ、熱伝導方程式を解く


解く偏微分方程式は

  

T(x,y)=X(x)Y(t)とおき、(1)に代入すると

  

(2)式の左辺はtだけの関数、右辺はxだけの関数。

したがって、これは定数。

そこで、次のようにおく。

  

pは定数。

なんで−にするかというと、そうしないと、境界条件からX(x)=0になってしまうから。

これを解くと

  

T(0,t)=0だから、

  

また、T(L,t)=0だから、

  

何故ならば、A=0だと、X=0となり、解として不適だから。

よって、

  

となるといいのだけれど、そうは問屋が許さない。

この解は、

  

という形になる。

何故ならば、

  

は、すべて、(1)を満たすから。

では、どうやって、係数を定めるかというと、フーリエ級数というものを使う。

フーリエ級数については、来年の夏くらいにやるとして、結果だけを述べると、t=0の境界条件、T(x,0)=x(L−x)から定まる。

  

fourie-01.pngnが偶数のときcosnπ=1となり、nが奇数のときはcosnπ=−1になるから、nが偶数のときとなる。

ということで、

  

少し事情があって、L=4の場合で計算すると、

  

ということで、くらいで計算しても誤差はあまり大きくない。

右の図を見ると、を使って計算をすると、[0,4]y=x(4−x)をほとんど正確に再現していることがわかる。


なんで、L=4のときを計算したかというと、昨夜、ネムネコが書いた数学の記事に関係するんだにゃ。

ネムネコが昨夜、表計算ソフトで解いた熱伝導方程式の厳密解、解析解は、上の式にκ=1/2L=4を代入すると、

  


アソコでの計算は、Δt=1Δx=1という数値計算をする場合あり得ないものだったけれど、この解析解と比較すると、結構、いい値が出ている。誤差、マックス100%くらい(^^

t=1x=1の厳密解が約T≒2.14だから意外に正しいんだケロよ、あの計算。

tが増加するに連れて、誤差が蓄積して100%くらい値が違うようになるけれど、意外に正しい、あの計算は。

もっとひどい結果が出ることを期待していたのだが、予想に反していたのに・・・。

1次元の非定常熱伝導方程式を表計算ソフトで解く(プチ) [ネコ騙し数学]

1次元の非定常熱伝導方程式を表計算ソフトで解く

1次元の非定常熱伝導方程式

  

を表計算ソフトで解けるようにしたにゃ。

ここで、ρは密度、cは比熱、λは熱伝導率、tは時刻、xは位置。


(1)は次のように変形できる。

  

κは温度伝導率や温度拡散率などと呼ばるもので、熱ではなく、温度の伝わりやすわすさをあらわす物理量。

熱伝導率λは熱の伝わりやすさ、温度伝導率κは温度の伝わりやすさをあらわす。

熱伝導率が大きくても、密度×比熱が大きいと、温度はなかなか伝わりにくいんだにゃ。

温度Tは、時刻tと位置xの2変数関数T(x,t)になる。

粗い近似だけれど、

  

と近似できる。

これを(2)に代入して整理すると、

  

となる。

そして、この(3)式を元にして、(2)の偏微分方程式を解こうというわけ。

ちなみに、α=1/2のとき、

  

という非常に簡単な計算式になる。

(4)を用いて解くことも可能。

κ=1/2とし、Δx=0.1とすると、α=1/2だから、

  

したがって、この場合、(4)式を用いて1回計算すると、時間は0.01だけ進んだことになる。

次の問題は、この計算原理を理解するためのだケロ。


問題

  

を、

  

Δx=1として、(4)式を使って解け。

【解】

(4)式を使えるのは

  

のとき。

κ=1/2Δx=1だから、Δt=1




こんな計算は粗くて、この計算結果は使いものにはならないけれど、それでもこの偏微分方程式の解の特徴を比較的よくあらわしている。

最初は急激に温度が降下し、徐々に温度降下の速度が緩やかになり、両端の温度に近づいてゆく。

 


netsu-hyou2.pngちなみに、表計算で使った式は右の図に出ているにゃ。

C2のセルに
=(B2+D2)/2

という計算式を書き、それをDEにコピペする。

B列とF列は全部0だから、予め、計算をするところにすべて0をセットしておけばいい。
こうするだけで、簡単に計算できてしまう。

C3セルの計算に使っているのは、青のB2D2セル。

一つ前の時間の隣接するセルの値をつかって、C3セルの値を計算しているわけ。

だから、連立方程式を解かずに、次々と計算してゆくことができる。


連立方程式を使って解く方法は陰解法と呼ばれる。今回紹介したのは、陽解法の中で最もシンプルなもの。
計算の精度をあげようと思えば、Δxを小さくすればいい。
いまは、Δx=1で計算しているけれど、Δx=0.1くらいにとれば、かなり精度のいい計算ができる。
ただし、κΔt/(Δx)²=1/2の制約があるから、Δt=0.01に取らなければならず、膨大な繰り返し計算をしなければいけない。
計算量は、何と、1000倍になる!!
だから、陽解法は、計算の原理は簡単だけれど、精度よく計算しようとすると、膨大な計算量なるので、あまり使われず、多くの場合、連立方程式を解く陰解法が使われる。


そして、ネムネコは、これよりも複雑な計算ができる表計算のスプレッドシートを公開したにゃ。
Blogger
の方にそのアドレスを記しておいたので、興味のある人は見てほしいニャ。


http://nemneko.blogspot.jp/2016/11/blog-post_81.html

エクセルで計算できるように、スプレッドシートをダウンロードできるようにもしておいたにゃ。


定積分と関数列の極限 [ネコ騙し数学]

定積分と関数列の極限


定積分と関数列(の極限)の問題を解く前に、その準備として、漸化式で与えられる数列の極限の問題を解くことにする。

問 次のように定められた数列の一般項と極限を求めよ。

  tss-01.png

【解き方】

まず、

  

とおき、この方程式を解く。解くと、α=4

  

両辺を4で引くと

  

したがって、数列は初項a₁−4=−3、公比1/2の等比数列。

よって、
  tss-02.png

したがって、

  

【解答終了】

方程式①の解α=4が極限値になっている。

これは偶然ではない。

数列の極限値をαとすると、nが十分に大きいときαに非常に近い値になるから、

  

と近似可能。

これを漸化式に代入すると、

  

だが、次の漸化式で定められる数列の場合、

  

同じように

  

②の両辺を−1で引くと
  tss-03.png
だから、この数列は発散し、有限確定な極限値は存在しない。

この手法で求められたαはあくまで極限値の候補に過ぎないことに注意して欲しい。


 


問題1

  

はすべて1次式で、次の条件を満たしている。
  

を求めよ。

【解】

  

とおく。ただし、a₁=1b₁=1とする。
  

係数を比較すると、

  

a₁=1b₁=1だから、①より

  

②の両辺から2を引くと

  

よって、数列は公比1/2、初項b₁−2=−1の等比数列。

  tss-06.png

したがって、

  

(解答終了)

 


問題にはないけれど、

  

だから、

  

つまり、関数の列は2に収束する。



問題2

  tss-07.png

【解】

  

とおくと、

  

よって、
   tss-08.png

つまり

  

両辺からをひくと

  tss-09.png

よって


(解答終了)



0<π/4<1だから、n→∞のとき

  



問題3 任意の実数aをとり、無限数列を次のように定める。

(1) x₀=a

(2) が決まったとき、微分方程式

  

の解で、t=0のときを満たすものをy(t)とし、とする。

このとき、

を求めよ。

【解】
  tss-10.png

t=0のときだから

  

また、だから、上式にt=1を代入し

  

よって、
  tss-11.png

したがって、n→∞

  

(解答終了)
タグ:微分積分

シリアで化学兵器使用の疑い、20件以上を調査中 OPCW AFPBB [ネコ騙し数学]





定積分の応用 水の問題など [ネコ騙し数学]

定積分の応用 水の問題など



問題1 半径1cmの円管から流れ出る水の速さが毎秒vcmで、v=3√ttは時間で単位は秒)であらわされるとき、出始めてから9秒間に流れ出る水の量を求めよ。

【解】

t秒後における瞬間流出量は「断面積×水の速さ」に等しいので、

  

よって、9秒間に流れ出る水の量は

  

(解答終了)

 


問題2 一様な断面をもつ水槽がある。この水槽の底に開けた穴から水が流れだすときは、水位hの降下する速さは、そのときの水位の平方根に比例するという。このとき、次の問いに答えよ。

(1) 水位の降下する速さと水位との関係式を求めよ。

(2) 水位の降下に対する時間の変化率と水位との関係を求めよ。

【解】

(1) 水位の降下する速度vはそのときの水深hに比例するのだから

  v=kh  (kは比例定数)

 


(2)

  

だから、

  

(解答終了)

ちなみに、①は

  

と解くことができる。



問題3 高さhcm、底面積がAcm²の直方体の水槽の底に、断面積acm²の小さな穴の流れ口がある。この水槽にいっぱいに満たしてある全水量が流出した水量をVcm³を求めよ。

ただし、水の深さがxcmのとき、穴から出る水の速さはトリチェリーの法則より

  

である。

【解】

流失が始まってからt秒間に流出した水の量Vに関しては次の関係式が成立する。

  

水深がxcmのとき、水槽内の水の減少分はA(h−x)でこれは流失した水の量に等しい。

すなわち、

  

これをtで微分すると、

  

①と②より

  

水槽の水が空になる時刻をTとすると、
  

(解答終了)


③の微分方程式を解いてからTを求めてもよい。

【別解】
  

t=0のときx=hだから

  

よって、

  

t=Tのときx=0になるから

  

(別解終了)

 


問題4 毎秒1cm³の割合で水のもれる容器がある。この容器を空にしてから、毎秒4cm³の割合で水を注ぎ始めたところ、10秒後から注水管の出が悪くなり、2秒たって止まった。この2秒間の注水管の水の出の速さは毎秒(4−t²)cm³であった。ただし、tは水の出が悪くなってからの秒数とする。

(1) 容器が再び空になるのは何秒後か。

(2) 最も多くなったときの容器の水量はいくらか。

【解】

(1) 容器内の水の量をVとすると、水の出が悪くなるまでに容器内にたまった水の量は(4−1)×10=30cm³

したがって、0≦t≦2の水の量は

  

t=T秒後に容器が空になるとすると、

  

したがって、容器が空になるのは

  


(2) Vの最大値は0≦t≦2にある。したがって、0≦t≦2の範囲で考えればよい。

  

よって、Vt=√3のときに極大、かつ、最大で、最大値は

  

(解答終了)

 

問題5 x軸上を動く点Pの時刻tにおける位置はx、速度v=x(x−1)で与えられるとき、x=2からx=3まで動くまでに要する時間を求めよ。

【解】

  

時刻t=0のときx=2t=Tのときx=3とすると、
  

(解答終了)



タグ:微分積分

定積分の応用 体積の変化とその割合 [ネコ騙し数学]

定積分の応用 体積の変化とその割合


問題1 ある容器に、体積Vの水を入れると、水の深さが√Vになる。この容器に水の深さがhになるまで水を入れるとき、その水面の面積を求めよ。

【解】

水の深さがyのときの水の体積をV(y)、水面の面積をS(y)とする。

問題の条件より、y=√Vだから

  

ゆえに、

  

両辺をyで微分すると、

  

したがって、y=hのときの水面の面積は

  

(解答終わり)


深さyのときの断面積S(y)S(y)=2yだから

  

で、問題1のy=√Vと一致している。

 


問題2 放物線y=x²y軸のまわりに回転してできる曲面を内面とする容器がある。毎秒50πの割合で注水するとき、100秒後の水面の上昇速度を求めよ。

【解】

t秒後の高さをy、体積をVとすると、

  

これは注水された水の体積50πtに等しいので、

  

したがって、t=100のときの水面の上昇速度は

  

(解答終了)

 


graph-384.png問題3 曲線y=x²(長さはcm)のy軸を軸として回転してできる曲面を内壁とする(回転の軸を鉛直に保つ)に、毎秒vcm³ずつ注入する。水を入れ始めてからt秒後における、次のものを求めよ。

(1) 水の深さ

(2) 水面の面積

(3) 水深の増加速度

(4) 水面の面積の増加速度

【解】

(1) t秒後の水の深さをyとすると、そのときの体積V

  

これは水の注水量と等しいので、

  


(2) 水面の面積S

  


(3) (1)より

  


(4) (2)より

  

(解答終了)

 


graph-379.png問題4 半径acmの半球形の容器に水がいっぱい入っている。この容器を一定方向に毎分1ラディアンの割合で静かに傾けるとき、

(1) t分後に容器に残る水の量を求めよ。

(2) t分後に流れでた水の量を求めよ。

(3) 流れ出る水量の変化率をtの関数としてあらわせ。

【解】

(1) 原点Oを中心とする半径aの円の方程式はx²+y²=a²

したがって、右図の水色の部分

  

y軸まわりに回転してできる回転体の体積は

  

したがって、t分後に容器に残る水の量は

  


(2) 傾ける前の水の量は

  

したがって、t分間に流出した水の量は

  


(3) 流れ出る水量の変化率は

  

(解答終了)


タグ:微分積分

積分の応用 道のり [ネコ騙し数学]

積分の応用 道のり


動点Pの座標(x,y)が時刻tの関数として

  

で表されるとすれば、Pの描く曲線は時刻tを媒介変数とする方程式と考えることができ、動点Pが時刻t₁からt₂までの間に進む道のりsは、区間[t₁,t₂]の曲線①の弧の長さに等しい。

したがって、

  

dx/dtdy/dtは、それぞれ、点Px軸方向、y軸方向の速度だから、

  

とすると、(1)式は

  

と書くことができる。

時刻t₁における点Pの位置を(x₁,y₁)とすると、時刻tにおける点Pの位置は

  

で与えられる。


問題1 x軸上を運動する点Pがある。出発してからt秒後におけるPの速度v

  

であるという。

t=0からt=πまでの間に

(1) どれだけの位置の変位があるか。

(2) 実際に動いた距離を求めよ。

【解】

(1) t=0のときのPの座標x₀t=πのときの座標をxとすると

  

したがって、変化なし。

(2)

  

したがって、0≦t≦π/3のときv≧0π/3≦t≦πのときv≦0である。

よって、

  

(解答終了)


graph-380.png問題2 原点を出発して座標平面上を移動する点Pt秒後の速度ベクトルの成分が

  

であるとき、

(1) Pの経路をあらわす方程式をtを媒介変数としてあらわせ。

(2) 出発後tt>0)秒間に動いた距離を求めよ。

【解】

(1) t秒後の点Pの座標を(x,y)とすると

  


(2) 動いた距離をsとすると

  

(解答終了)


問題3 半直線OXが、点Oのまわりを毎秒1ラディアンで回転している。OX上を移動する点Pが時刻tにおいて、点Oからcmにあるという。

(1) t秒後の点Pの座標(x,y)tであらわせ。ただし、Oを座標原点とし、t=0における半直線OXx軸の正の向きにとることにする。

(2) 時刻t=0から秒までの間に動く点Pの動く距離を求めよ。

graph-381.png【解】

(1) x軸と半直線OXのなす角度をθとすると、θ=t

問題の条件より線分OPの大きさは

  

だから、t秒後の点Pの座標は

  

である。

(右図参照)


(2)

  

よって、移動距離は

  

(解答終了)


問題4 点(0,1)から出発して曲線

  

の第1象限にある部分の上を毎秒1の速さで動く点Pを考える。

(1) t秒後における点Px座標をtの関数としてあらわせ。

(2) Pからx軸のおろした垂線の足の動く速さをtであらわせ。

【解】

(1) 毎秒1の速さで点Pは曲線上を移動するので、t秒後の点(0,1)と点Pの曲線の長さはt

したがって、t秒後の点Px座標をxとすると

  

だから、これは解として不適。

よって

  


(2)

  

(解答終了)

タグ:微分積分

定積分の応用 曲線の長さ2 [ネコ騙し数学]

定積分の応用 曲線の長さ2



graph-377.png問題 次の曲線(アステロイド)

  

の全長を求めよ。

【解】

この曲線は

  

と表せる。

この図形は、x軸、y軸に関して対称だから、第一象限の曲線の長さを4倍したものが曲線の全長に等しい。

  

よって、

  

(解答終了)

 


陰関数の微分法を用いた別解を紹介する。

【別解】

  

xで微分すると、

  

したがって

  

よって、

  

(解答終了)

 


問題2 半径aの固定した糸を巻きつけておき、その端を円周上の一点Aから糸がたるまないようにほぐしていく。いま、円の中心Oを原点として、∠AOQ=θとするとき、

(1) 点Pの座標(x,y)θを媒介変数としてあらわせ。

(2) 点Pのえがく曲線(円の伸開線・インボリュート)の0≦θ≦2πの間の曲線の長さを求めよ。

【解】

graph-378.png(1) Qからx軸におろした垂線の足をBPから直線BQにおろした垂線の足をHとする。

条件よりQPは円弧AQの長さと等しいから、

  

また、∠HQP=θ

したがって、

  

Qの座標は

  

だから、Pの座標は

  



(2)

  

したがって、曲線の長さL

  

(解答終了)