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定積分の応用 面積2 [ネコ騙し数学]

定積分の応用 面積2


問題1 次の図形の面積を求めよ。

(1) 曲線x軸より下の部分とx軸とで囲まれた図形

(2) 0≦x≦2πの範囲で、2曲線y=sinxy=sin2xとで囲まれた部分

【解】

(1) y=cosx(1+sinx)x軸との交点のx座標はπ/23π/2

graph-288.png

よって、求める面積S

  

(2) y=sinxy=sin2xの交点のx座標は

  

0≦x≦2πで、sinx=0になるのは、x=0πcosx=1/2になるのはx=π/35π/3
そして、この図形は点(π,0)に関して対称。

graph-289.png

したがって、求める面積は

  

(解答終了)



問題2 次の図形の面積を求めよ。

(1) 曲線y=logxx軸、y軸および直線y=1で囲まれた部分。

(2) 曲線と直線y=xとで囲まれた部分。

【解】

graph-290.png(1) y=logxだから、

よって、求める面積S

  

(別解)

求める面積は、□OABCから斜線部(x軸とy=logxx=eで囲まれた部分)の面積を引いたものに等しいから

  


(2) 曲線と直線y=xとの交点のx座標は

graph-291.png  

したがって、面積S

  

ここで、
  

よって、

  

(解答終了)


問題3 次の図形の面積を求めよ。

(1) 曲線と、点(3、√2)におけるこの曲線の接線およびx軸とで囲まれた部分

(2) 曲線y=logxと、この曲線の原点を通る接線およびx軸とで囲まれた部分

【解】

graph-292.png(1) とすると

  

したがって、接点P(3,√2)における接線の方程式は

  

この接線とx軸との交点をAとすると、点Ax座標は−1

接点Pからx軸におろした垂線の足をBとすると、この図形の面積S

  

graph-293.png(2) 接点Pの座標を(t,logt)とすると、接線の方程式は

  

これが原点を通るので

  

したがって、接線の方程式はy=x/e

  

よって、求める面積は

  

(解答終了)

この問題3の(2)は、(1)同様に

  

と求めることもできる。


問題4 y=ax²のグラフがy=logxのグラフと接するように定数aの値を定めよ。また、そのとき、これらのグラフとx軸とで囲まれる図形の面積を求めよ。

【解】

graph-294.pngy=f(x)=ax²y=g(x)=logxとの接点のx座標をtとすると、f(t)=g(t)f'(t)=g'(t)

  

②よりat²=1/2。これを①に代入すると

  

よって、

  

したがって、面積S
  

(解答終わり)


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