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ワンポイントゼミ x=t²+1、y=2−t−t²のグラフならび・・・ [ネコ騙し数学]

ワンポイントゼミ x=t²+1y=2−t−t²のグラフならび・・・


graph-366.png定積分の応用 面積4で出てきた次の方程式

  

から

  

とし、tを消去すると

  

したがって、方程式x=t²+1y=2−t−t²で与えられる曲線は、次の2つの曲線からなると考えることができる。

  

よって、この曲線とx軸で囲まれる面積S

  

t=x−1とおくと、

  


graph-367.pngまた、

  

両辺を2乗すると

  

と、一つの方程式でこの曲線をあらわすことができる。



ここから先は読むな!!



graph-368.pngこの曲線の正体は、原点を中心に45°時計回りに回転させるとわかります。

1次変換の知識を使い、

  

として、これを①に代入すると、

  

となり、この曲線の正体が放物線であることがわかる。

このとき、x軸はy=−xに写されるので、放物線

  

と直線y=−xで囲まれた面積と等しいことになる。

A(2,0)、点B(5,0)の像A'B'x座標はそれぞれ2/√25/√2になるので、

放物線の定積分に関する次の公式

  wp24-666.png

を用いると、

  wp24-01.png

と求められる。

ちなみに、点(x,y)を原点を中心に半時計回りにθ回転して得られる点(x',y')は、行列を用いて書くと

  

で、

  

この場合、反時計回りに45°だから

  

これから、A(2,0)B(5,0)の像A'B'x座標は2/√25/√2となることが分かる。

あなた、読むなと言ったのに、読みましたね。




頭が呪われたにゃ!!


タグ:微分積分

定積分の応用 面積4 媒介変数で表された曲線の場合2 [ネコ騙し数学]

定積分の応用 面積4 媒介変数で表された曲線の場合2


前回に引き続き、媒介変数で表された曲線の面積を求める問題を解くことにする。

前回解いた問題は、どれも、a≦x≦bにおいてdx/dt≧0、または、dx/dt≦0、つまり、xtに関して(広義の)単調増加、または、単調減少の場合で、今回はより複雑なdx/dtの符合が正から負、または、負から正に変わるより複雑なものを扱うことにする。

 


問題1 曲線x=3t−t³y=4−t⁴(−√2≦t≦√2)とx軸で囲まれた部分の面積を求めよ。

【解き方】

graph-357.pngこの曲線とx軸との交点のtの値は、y=0から

  

したがって、t=±√2

  

xtの奇関数、ytの偶関数だから、この曲線はy軸に関して対称(右図参照)。

したがって、求めるべき面積は第1象限の部分(0≧t≦√2)の面積の2倍である。

そこで、この曲線の0≦t≦1の部分をy₁、この曲線の1≦t≦√2の部分をy₂とおくと、右の図になる。

graph-358.pngだから、曲線y₁y₂、そして、x軸、y軸で囲まれた部分の面積は

  

よって、求めるべき面積S

  

【解き方終わり】

注意すべことは、0≦t≦√2のとき

  

だから、0≦t<1ではxは増加、そして、1<t≦√2ではxは減少するということ。

そして、x=√2に対応するtt=√2x=2に対応するtt=1であること。

だから、

  

になっている!!
また、

  

として、極値やyxに対する増減を求めることができ、t=0のときにyは極大になることが分かる。

さらに、①をxで微分すると

  

として、この曲線の凹凸を調べることもできる。

意欲のある人は、

  

として、計算を続け、凹凸を調べて欲しい。


問題2 次の方程式のあらわす曲線とx軸とで囲まれた部分の面積を求めよ。

  


graph-359.png上の問題は、x=t²からt=±√xとして、

  

そして、

  

とし、この2つの曲線の概形(右図参照)を書き、x軸との交点などを求める。

そして、

  

と求めたほうが楽なのでしょうが・・・。

【解】

graph-365.pngy=t²+t−2x軸との交点のtの値を

  

2≦t≦1で、xの取りうる値の範囲は0≦x≦4

  

2≦t<0xは減少し、t=−2のときx=4で、t=0のときx=0

0<t≦1xは増加し、t=0のときx=0t=1のときx=1

0≦t≦1の曲線の部分をy₁、−2≦t≦0の曲線をy₂とすると、

したがって、面積S

  

(解答終了)



問題3 tがすべての実数の範囲を動くとき、

  

を座標とする点(x,y)は1つの曲線をえがく。この曲線とx軸とで囲まれる部分の面積を求めよ。

【略解】

  


graph-351.png

(略解終了)


なお、問題1、2、3では、

  

という定積分の性質を使っている。


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