定積分の応用 閉曲線の面積

接線と面積

問題１　直角双曲線xy=k（k>0)の上の１点Pからx軸におろした垂線の足をQ、Qからこの双曲線に引いた接線の接点をTとすると、線分PQ、および双曲線の弧TPで囲まれる部分の面積Sは、Pが双曲線のっどこにあっても一定であることを示せ。

【解】

Pの座標をとするとQの座標は(p,0)。

接点Tの座標をとすると、だから、接線の方程式は

　　

点Q(p,0)を通るので

　　

よって、接線の方程式は

　　

したがって、面積Sは
　　

（解答終了）

問題２　曲線上の点Pにおける接線とx軸の交点をQとする。P、Qからy軸に平行に引いた直線と、上の曲線およびx軸とで囲まれた部分は、PQによってどのような比に分けられるか。

【解】

は偶関数で、x軸に関して対称なので、a>0について考えれば十分。

　　

したがって、点Pにおける接線は
　　

よって、x軸との交点Qのx座標は

　　

点P、Q、(a,0)で囲まれる三角形の面積は

　　

曲線とx軸、x=a、x=3a/2とで囲まれる部分の面積は
　　

したがって、面積比は

　　

（解答終了）

 

問題３

（１）　x軸上の点P(a,0)から曲線に２本の接線が引けるためのaの条件を求めよ。

（２）　a=1/2のとき、この曲線と上の２接線で囲まれる部分の面積を求めよ。

【解】

（１）

　　

接点の座標をとすると、接線の方程式は

　　

これが点(a,0)を通過するので、

　　

この方程式が相異なる２実根を持つので

　　

（２）　a=1/2のとき

　　

よって、接線の方程式は

　　

面積Sは

　　

（解答終了）

 

問題４　曲線y=logx上の定点A(1,0)と動点Pとにおける接線の交点をQとする。またP、Qからx軸へおろした垂線の足をそれぞれR、Tとし、この曲線とPR、ARによって囲まれた部分の曲線をSを、△AQRの面積S₁、△APTの面積をS₂とする。

（１）　の値を求めよ。

（２）　Pがこの曲線に沿ってAに近づくの極限値を求めよ。

【解】

（１）

　　

点Aにおける接線は

　　

Pの座標を(t,logt)とすると、接線の方程式は

　　

Qは①と②の交点だから
　　

よって、

　　

面積Sは
　　

③と④より、

　　

（２）



　（１）より、Tの座標は

　　

したがって、

　　

ゆえに、

　　

t<1のときlogt<0、t−1<0、t>1のとき、logt>0、t−1>0で、いずれにせよ

　　

よって、

　　

（解答終了）

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