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定積分の応用 閉曲線の面積 [ネコ騙し数学]

接線と面積


問題1 直角双曲線xy=kk>0)の上の1点Pからx軸におろした垂線の足をQQからこの双曲線に引いた接線の接点をTとすると、線分PQ、および双曲線の弧TPで囲まれる部分の面積Sは、Pが双曲線のっどこにあっても一定であることを示せ。

【解】

graph-304.pngPの座標をとするとQの座標は(p,0)

接点Tの座標をとすると、だから、接線の方程式は

  tssm-01.png

Q(p,0)を通るので

  tssm-02.png

よって、接線の方程式は

  

したがって、面積S
  tssm-03.png

(解答終了)


問題2 曲線上の点Pにおける接線とx軸の交点をQとする。PQからy軸に平行に引いた直線と、上の曲線およびx軸とで囲まれた部分は、PQによってどのような比に分けられるか。

【解】

graph-305.pngは偶関数で、x軸に関して対称なので、a>0について考えれば十分。

  

したがって、点Pにおける接線は
  tssm-04.png

よって、x軸との交点Qx座標は

  

PQ(a,0)で囲まれる三角形の面積は

  

曲線とx軸、x=ax=3a/2とで囲まれる部分の面積は
  tssm-05.png

したがって、面積比は

  

(解答終了)

 


問題3

(1) x軸上の点P(a,0)から曲線に2本の接線が引けるためのaの条件を求めよ。

(2) a=1/2のとき、この曲線と上の2接線で囲まれる部分の面積を求めよ。

【解】

graph-306.png(1)

  

接点の座標をとすると、接線の方程式は

  

これが点(a,0)を通過するので、

  

この方程式が相異なる2実根を持つので

  


(2) a=1/2のとき

  

よって、接線の方程式は

  

面積S

  tssm-06.png

(解答終了)

 


問題4 曲線y=logx上の定点A(1,0)と動点Pとにおける接線の交点をQとする。またPQからx軸へおろした垂線の足をそれぞれRTとし、この曲線とPRARによって囲まれた部分の曲線をSを、△AQRの面積S₁、△APTの面積をS₂とする。

(1) の値を求めよ。

(2) Pがこの曲線に沿ってAに近づくの極限値を求めよ。

【解】

graph-307.png(1)

  

Aにおける接線は

  

Pの座標を(t,logt)とすると、接線の方程式は

  

Qは①と②の交点だから
  tssm-07.png

よって、

  

面積S
  tssm-08.png

③と④より、

  


(2)

graph-308.png

 (1)より、Tの座標は

  

したがって、

  

ゆえに、

  

t<1のときlogt<0t−1<0t>1のとき、logt>0t−1>0で、いずれにせよ

  

よって、

  

(解答終了)


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