ネムネコ、閃く!!というほどのものではないが… [ネコ騙し数学]
ネムネコ、閃く!!というほどのものではないが…
問題 次の曲線とx軸、y軸の間で囲まれる部分の面積を求めよ。
【解】
根号内で負になってはいけないので、x≧0、y≧0。
また、同様に、y≦1。
したがって、0≦x≦1、0≦y≦1
また、よって、求めるべき面積Sは
なのですが、
この曲線①は媒介変数tを用いて
とあらわすことができる。
したがって、次のように解くこともできる。
【別解】
曲線①は媒介変数を用いてよって、
したがって、面積Sは
(解答終了)
別解は、問題の解答中に出てくる定積分
に対して、√x=tとおいて、置換積分したものと同等のもの。
また、
と
は同じ曲線。
だから、
ここで、と変数を変換すると、②は
になる。
つまり、曲線①の正体は放物線の一部ということが分かる。
接線と面積 [ネコ騙し数学]
接線と面積
問題1 直角双曲線xy=k(k>0)の上の1点Pからx軸におろした垂線の足をQ、Qからこの双曲線に引いた接線の接点をTとすると、線分PQ、および双曲線の弧TPで囲まれる部分の面積Sは、Pが双曲線のっどこにあっても一定であることを示せ。
【解】接点Tの座標をとすると、だから、接線の方程式は
点Q(p,0)を通るので
よって、接線の方程式は
したがって、面積Sは
(解答終了)
問題2 曲線上の点Pにおける接線とx軸の交点をQとする。P、Qからy軸に平行に引いた直線と、上の曲線およびx軸とで囲まれた部分は、PQによってどのような比に分けられるか。
【解】は偶関数で、x軸に関して対称なので、a>0について考えれば十分。
したがって、点Pにおける接線は
よって、x軸との交点Qのx座標は
点P、Q、(a,0)で囲まれる三角形の面積は
曲線とx軸、x=a、x=3a/2とで囲まれる部分の面積は
したがって、面積比は
(解答終了)
問題3
(1) x軸上の点P(a,0)から曲線に2本の接線が引けるためのaの条件を求めよ。
(2) a=1/2のとき、この曲線と上の2接線で囲まれる部分の面積を求めよ。
【解】
接点の座標をとすると、接線の方程式は
これが点(a,0)を通過するので、
この方程式が相異なる2実根を持つので
(2) a=1/2のとき
よって、接線の方程式は
面積Sは
(解答終了)
問題4 曲線y=logx上の定点A(1,0)と動点Pとにおける接線の交点をQとする。またP、Qからx軸へおろした垂線の足をそれぞれR、Tとし、この曲線とPR、ARによって囲まれた部分の曲線をSを、△AQRの面積S₁、△APTの面積をS₂とする。
(1) の値を求めよ。
(2) Pがこの曲線に沿ってAに近づくの極限値を求めよ。
【解】点Aにおける接線は
Pの座標を(t,logt)とすると、接線の方程式は
Qは①と②の交点だから
よって、
面積Sは
③と④より、
したがって、
ゆえに、
t<1のときlogt<0、t−1<0、t>1のとき、logt>0、t−1>0で、いずれにせよ
よって、
(解答終了)