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定積分の応用 面積の最大・最小 [ネコ騙し数学]

定積分の応用 面積の最大・最小


問題1 aを正の定数とし、y=ax²tsmss-00.pngによって囲まれる部分の面積をS(a)とするとき、S(a)を最大にするaの値を求めよ。

graph-309.png【解】

y=ax²tsmss-00.pngとの交点のx座標は

  

ここで、

  

とおくと、

  

graph-310.png面積S(a)
  tsmss-01.png

S(a)の変化を調べるために、S(a)aで微分すると、

  

よって、のときに極大かつ最大。

(解答終了)


問題2 曲線y=logxと、3つの直線y=xx=ax=a+1a>0)とで囲まれる部分の面積をSとする。

(1) Saであらわせ。

(2) Sを最小とするaの値を求めよ。

【解】

graph-311.png(1)

  


(2) Saで微分すると、

  

graph-312.pngよって

すなわち、のとき

すなわち、のとき

以上のことから、のとき、極小かつ最小で、最小値は

  

(解答終了)

極小の判定は

  

を使ってもいい。

こちらの方がわかりやすいのではないか。



問題3 関数f(x)a≦x≦b)が正の第2次導関数をもつとき、曲線y=f(x)上に点Pをとって、Pにおける接線とこの曲線とこの曲線x=ay=bで囲まれた部分の面積を最小にするには、点Pをどのようにとればいいか。

【解】

graph-313.png接点Pの座標を(t,f(t))とすると、接線の方程式は

  

よって、この接線とy=f(x)x=ax=bとで囲まれる部分の面積S
  tsmss-02.png
第1項は定数、またb−a>0だから、

  

が最小のとき、Sは最小になる。

g(t)の変化を調べるために、g(t)tで微分すると、

  

a≦x≦bにおいてf''(t)>0だから、の前後でg'(t)の符合が負から正に変わる。

したがって、のときg(t)Sともに最小になる。

よって、点P

  

にとればよい。

(解答終了)
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