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定積分 面積のラスト問題 [ネコ騙し数学]

定積分 面積のラスト問題


問題1 y=√3cos2xy=sinxの2曲線(0<x<π)で囲まれた部分の面積を求めよ。

【解】

graph-321.pngy=√3cos2xy=sinxの交点のx座標は

  tsm-last-01.png

0<x<πではsinx>0だから、

  

0<x<π/2の解をαとすると、解はαπ−α

すなわち、

  tsm-last-02.png

よって、面積S

  tsm-last-03.png

倍角公式より

  

よって、

  

(解答終了)

この図形はx=π/2に関して対称なので、対称性を利用して

  tsm-last-03.png

として、面積を求めた方が、厄介な三角関数の角関係を使わなくてすむので、計算が楽。


問題2 0≦x≦πの範囲における関数y=sinxのグラフをCとし、x軸と曲線Cとで囲まれる面積をAとする。Cx軸に平行にaa>0)だけ平行移動した曲線によって図形Aを2等分したい。aの値を求めよ。

【解】
graph-322.png

  

y=sinxx軸に平行にaだけ平行移動した曲線の方程式はy=sin(x−a)

0<x<πにおいて、y=sinxy=sin(x−a)の交点のx座標は

  

問題の条件より、上図の斜線部は、A/4=1/2に等しいので、
  

(解答終了)


y=sinxy=sin(x−a)の交点のx座標は、たとえば、次のように求めることができる。

  

問題の条件で上の方程式を満たす解は

  



問題3

2つの曲線とが点で共通の接線をもつとする。ただし、c0でない定数とする。

(1) cαの値を求めよ。

(2) この共通接線y=f(x)とするとき、0≦x<αであることを示せ。

(3) 2曲線、および、y軸で囲まれ部分の面積を求めよ。

【解】

graph-323.png(1)

  

x=αで共通接線ももつので

  

①と②より

  

この結果を①に代入すると

  


(2)

  

0≦x<1/2y''<0

よって、0≦x<1/2は上に凸。

したがって、
  



(3)  は下に凸だから、

  

したがって、面積S

  

ここで
  tsm-last-05.png

よって、

  

(解答終了)

ちなみに、のグラフの概形は以下のとおり。


graph-324.png

(2)より、この曲線は、x=1のときに極大で、x=2で変曲点をもつ。

 


問題4 関数

  

のグラフとx軸とによって囲まれた各部分の面積の総和を求めよ。

【解】

のグラフはx軸とx=nπn=1,2,3,・・・)の点と交わる。


graph-320.png


したがって、面積の総和は

  

ここで

  

とすると
  

したがって

  

よって、

  

(解答終了)


タグ:微分積分