定積分 面積のラスト問題 [ネコ騙し数学]
定積分 面積のラスト問題
問題1 y=√3cos2x、y=sinxの2曲線(0<x<π)で囲まれた部分の面積を求めよ。
【解】0<x<πではsinx>0だから、
0<x<π/2の解をαとすると、解はαとπ−α。
すなわち、
よって、面積Sは
倍角公式より
よって、
(解答終了)
この図形はx=π/2に関して対称なので、対称性を利用して
として、面積を求めた方が、厄介な三角関数の角関係を使わなくてすむので、計算が楽。
問題2 0≦x≦πの範囲における関数y=sinxのグラフをCとし、x軸と曲線Cとで囲まれる面積をAとする。Cをx軸に平行にa(a>0)だけ平行移動した曲線によって図形Aを2等分したい。aの値を求めよ。
【解】y=sinxをx軸に平行にaだけ平行移動した曲線の方程式はy=sin(x−a)。
0<x<πにおいて、y=sinxとy=sin(x−a)の交点のx座標は
問題の条件より、上図の斜線部は、A/4=1/2に等しいので、
(解答終了)
y=sinxとy=sin(x−a)の交点のx座標は、たとえば、次のように求めることができる。
問題の条件で上の方程式を満たす解は
問題3
2つの曲線ととが点で共通の接線をもつとする。ただし、cは0でない定数とする。
(1) c、αの値を求めよ。(2) この共通接線y=f(x)とするとき、0≦x<αでであることを示せ。
(3) 2曲線、および、y軸で囲まれ部分の面積を求めよ。【解】
(1)x=αで共通接線ももつので
①と②より
この結果を①に代入すると
(2)
0≦x<1/2でy''<0。
よって、0≦x<1/2では上に凸。
したがって、
(3) は下に凸だから、
したがって、面積Sは
ここで
よって、
(解答終了)
(2)より、この曲線は、x=1のときに極大で、x=2で変曲点をもつ。
問題4 関数
のグラフとx軸とによって囲まれた各部分の面積の総和を求めよ。
【解】
のグラフはx軸とx=nπ(n=1,2,3,・・・)の点と交わる。
したがって、面積の総和は
ここで
とすると
したがって
よって、
(解答終了)
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