定積分の応用 体積２

定積分の応用　体積２

２曲線で囲まれた部分をx軸まわりに回転して得られる図形の体積

閉区間[a,b]（a≦x≦b）において、２つの曲線y₁=f(x)とy₂=g(x)がx軸の同じ側にあって、｜f(x)｜≧｜g(x)｜とすると、この２曲線とx=a、x=bで囲まれた部分をx軸まわりに回転して中空の回転体の体積Vは

　　

である。

つまり、

　　V=（外側にできる体積）−（内側にできる体積）

である。

問１　次の図形をx軸のまわりに回転して得られる図形の体積を求めよ。

（１）　曲線y=√xと直線y=xとで囲まれた図形

（２）　曲線y=cosx（−π/3≦x≦π/3）と直線y=1/2とで囲まれた図形

【解】

（１）



y=√xと直線y=xとの交点のx座標はx=0、x=1。

また、0≦x≦1において、x≦√xだから

　　

（２）

　　

（解答終了）

問２　次の図形をy軸のまわりに回転して得られる図形の体積を求めよ。

（１）　曲線y=logxと２直線y=e、x軸で囲まれた図形

（２）　２つの曲線y=x²、x+√y=2とy軸で囲まれた図形

【解】

（１）


　y=logxをxについて解くと

　　

x=eとy=logxの交点のy座標は1だから体積Vは

　　

（２）　２つの曲線y=x²、x+√y=2の交点のy座標は

　　

また、、x+√y=2のy切片は4。

したがって、

　　

（解答終了）

問題１　放物線y=x²−4x+5とy=2xで囲まれた図形をSとする。

（１）　Sをx軸のまわりに１回転してできる立体の体積を求めよ。

（２）　Sをy軸のまわりに１回転してできる立体の体積を求めよ。

【解】

（１）　y=x²−4x+5とy=2xの交点のx座標は

　　

したがって、体積は

　　

（２）　y=x²−4x+5をxについて解くと

　　

それで、

　　

とすると、求める体積は
　　

（解答終了）

問題２　曲線と、原点からこの曲線に引いた接線とy軸とで囲む図形をy軸のまわりに回転してできる立体の体積を求めよ。

【解】

曲線上の点における接線の方程式は

　　

これが原点を通過するので、

　　

したがって、接線の方程式は

　　

よって、
　　

（解答終了）

外側にできる立体の体積は

　　

内側にできる立体の体積は

　　

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