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定積分の応用 体積3 [ネコ騙し数学]

定積分の応用 体積3



graph-344.png問題1 曲線y=−x²+2xと直線y=−xとで囲まれた部分をx軸のまわりに回転してできる回転体の体積を求めよ。


この問題のように、2曲線が回転軸に関して同じ側にない場合、回転した際の曲線の上下で重なる部分の様子がわかりづらい。

このような場合、曲線、直線に絶対値をつけたもので考えるとよい。つまり、

  

そうすると、次の図になる。


graph-345.png


【解】

回転の元になる図をx軸の上側にくるようにx軸で折り返して考えると、

外側の線は

  

内側の線は

  

したがって、

  

(解答終了)

 


問題2 2つの曲線y=sinxy=sin2xで囲まれた次の部分をx軸のまわりに回転してできる立体の体積を求めよ。

(1) 0≦x≦π/3の範囲で囲まれた部分

(2) π/3≦x≦πの範囲で囲まれた図形

【解】

(1)

graph-347.png

体積V

  



(2) 曲線y=sin2x3/π≦x≦πの部分をx軸に関して対称に折り返して考えると、下の図のようになる。


graph-348.png

したがって、体積V

  

(解答終了)


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