So-net無料ブログ作成

定積分の応用 曲線の長さ2 [ネコ騙し数学]

定積分の応用 曲線の長さ2



graph-377.png問題 次の曲線(アステロイド)

  

の全長を求めよ。

【解】

この曲線は

  

と表せる。

この図形は、x軸、y軸に関して対称だから、第一象限の曲線の長さを4倍したものが曲線の全長に等しい。

  

よって、

  

(解答終了)

 


陰関数の微分法を用いた別解を紹介する。

【別解】

  

xで微分すると、

  

したがって

  

よって、

  

(解答終了)

 


問題2 半径aの固定した糸を巻きつけておき、その端を円周上の一点Aから糸がたるまないようにほぐしていく。いま、円の中心Oを原点として、∠AOQ=θとするとき、

(1) 点Pの座標(x,y)θを媒介変数としてあらわせ。

(2) 点Pのえがく曲線(円の伸開線・インボリュート)の0≦θ≦2πの間の曲線の長さを求めよ。

【解】

graph-378.png(1) Qからx軸におろした垂線の足をBPから直線BQにおろした垂線の足をHとする。

条件よりQPは円弧AQの長さと等しいから、

  

また、∠HQP=θ

したがって、

  

Qの座標は

  

だから、Pの座標は

  



(2)

  

したがって、曲線の長さL

  

(解答終了)