定積分の応用 曲線の長さ２

定積分の応用　曲線の長さ２

問題　次の曲線（アステロイド）

　　

の全長を求めよ。

【解】

この曲線は

　　

と表せる。

この図形は、x軸、y軸に関して対称だから、第一象限の曲線の長さを４倍したものが曲線の全長に等しい。

　　

よって、

　　

（解答終了）

 

陰関数の微分法を用いた別解を紹介する。

【別解】

　　

をxで微分すると、

　　

したがって

　　

よって、

　　

（解答終了）

 

問題２　半径aの固定した糸を巻きつけておき、その端を円周上の一点Aから糸がたるまないようにほぐしていく。いま、円の中心Oを原点として、∠AOQ=θとするとき、

（１）　点Pの座標(x,y)をθを媒介変数としてあらわせ。

（２）　点Pのえがく曲線（円の伸開線・インボリュート）の0≦θ≦2πの間の曲線の長さを求めよ。

【解】

（１）　Qからx軸におろした垂線の足をB、Pから直線BQにおろした垂線の足をHとする。

条件よりQPは円弧AQの長さと等しいから、

　　

また、∠HQP=θ

したがって、

　　

点Qの座標は

　　

だから、Pの座標は

　　

（２）

　　

したがって、曲線の長さLは

　　

（解答終了）