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定積分と関数列の極限 [ネコ騙し数学]

定積分と関数列の極限


定積分と関数列(の極限)の問題を解く前に、その準備として、漸化式で与えられる数列の極限の問題を解くことにする。

問 次のように定められた数列の一般項と極限を求めよ。

  tss-01.png

【解き方】

まず、

  

とおき、この方程式を解く。解くと、α=4

  

両辺を4で引くと

  

したがって、数列は初項a₁−4=−3、公比1/2の等比数列。

よって、
  tss-02.png

したがって、

  

【解答終了】

方程式①の解α=4が極限値になっている。

これは偶然ではない。

数列の極限値をαとすると、nが十分に大きいときαに非常に近い値になるから、

  

と近似可能。

これを漸化式に代入すると、

  

だが、次の漸化式で定められる数列の場合、

  

同じように

  

②の両辺を−1で引くと
  tss-03.png
だから、この数列は発散し、有限確定な極限値は存在しない。

この手法で求められたαはあくまで極限値の候補に過ぎないことに注意して欲しい。


 


問題1

  

はすべて1次式で、次の条件を満たしている。
  

を求めよ。

【解】

  

とおく。ただし、a₁=1b₁=1とする。
  

係数を比較すると、

  

a₁=1b₁=1だから、①より

  

②の両辺から2を引くと

  

よって、数列は公比1/2、初項b₁−2=−1の等比数列。

  tss-06.png

したがって、

  

(解答終了)

 


問題にはないけれど、

  

だから、

  

つまり、関数の列は2に収束する。



問題2

  tss-07.png

【解】

  

とおくと、

  

よって、
   tss-08.png

つまり

  

両辺からをひくと

  tss-09.png

よって


(解答終了)



0<π/4<1だから、n→∞のとき

  



問題3 任意の実数aをとり、無限数列を次のように定める。

(1) x₀=a

(2) が決まったとき、微分方程式

  

の解で、t=0のときを満たすものをy(t)とし、とする。

このとき、

を求めよ。

【解】
  tss-10.png

t=0のときだから

  

また、だから、上式にt=1を代入し

  

よって、
  tss-11.png

したがって、n→∞

  

(解答終了)
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