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関数方程式2 [ネコ騙し数学]

関数方程式2



問題1 微分可能な関数で、次の条件を満たすものを求めよ。

  

【解】

(1)

  

両辺をxで微分すると

  

さらに両辺をxで微分すると、

  

y=f(x)とおくと、
  hk-siki-02.png

①にx=0を代入すると、

  

したがって、

  



(2) x−t=uとおくと、t=x−uで、t=0にはu=xt=xにはu=0が対応する。

また、dt=−duだから

  

両辺をxで微分すると、

  

①にx=0を代入すると、f(0)=0

よって、

  

y=f(x)とおくと

  

x=0のときy=0だから、C=1

よって、

  

(解答終了)


問題2 [0,1]で定義された連続関数f(x)が連続な導関数f'(x)をもち、f(0)=2とする。

いま、この関数が、g(0)=g(1)=0をみたす[0,1]で連続な任意の関数g(x)(連続な関数g'(x)をもつとする)に対して

  

をみたすとき、

(1) f'(x)−3f(x)=0を証明せよ。

(2) f(x)を求めよ。

【解】

(1) 部分積分すると

  

したがって、

  

g(x)は任意の関数だから、

  

とおくと、

  

よって、

  

である。

(2) y=f(x)とおくと

  

x=0のときy=2だからC=2

よって

  

(解答終了)


タグ:微分積分