台形公式の精度を求める問題 [ネコ騙し数学]
台形公式の精度を求める問題
台形公式の精度を求めるいい問題があったので紹介します。
問題
a<bのとき
となるようにkの値を定め、関数F(x)を
とする。
この関数について、ロールの定理を繰り返して使うことによって
となるようなξが存在することを示せ。
【解】
x=aのとき、
x=bのとき
F(a)=F(b)=0かつ、F(x)は、閉区間[a,b]で連続、開区間(a,b)で微分可能。
よって、ロールの定理よりF'(c)=0となるa<c<bが存在する。
②を微分するとよって、F'(a)=0。
F'(a)=F'(c)=0かつ、F(x)は[a,c]で連続、(a,b)で微分可能。よって、ロールの定理より
となるξが存在する。
ξ<>aだから、
これを①に代入すると、
(解答終了)
は、曲線y=f(x)とx軸、x=a、x=bで囲まれた部分の面積であり、
は、右図の台形ABCDの面積である。
問題の結果より、
という関係があり、右辺はSをTで近似したときの誤差を与える。
[a,b]を
とn等分とする、
n等分したのだから、
この区間に台形公式で近似すると、
よって、
ここで、の最大値をMとすると、
これが台形公式の誤差限界である。
ちなみに、以前紹介した中点公式
の誤差限界は
(1)と(2)のMは等しくないので単純な比較はできないけれど、Mが同一であれば、中点公式は台形公式の誤差の1/2ということになる。
だから、一般論になるけれど、中点公式の方が台形公式より精度はよいということになる。を台形公式を用いて計算し誤差と分割の幅hとの関係を示したもの。
このグラフだと少しわかりにくいと思うのだが、h=0.1からh=0.01へとhが1/10になると、誤差は約その2乗である(1/10)²=1/100になる。
計算した生のデータのほうがわかりやすいと思うので、生データを以下に示す。
分割幅 h 誤差
0.010000 0.000004166667
0.001000 0.000000041667
0.000100 0.000000000417
この関数の場合、綺麗に1/100になっている。
これだとまだ直観的に理解しづらいかもしれないので、[0,1]の分割数nと誤差との関係についてのグラフを示す。
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