第２回 数列の極限の計算（基本）

第２回　数列の極限の計算（基本）

問題を具体的に解くことによって、数列の極限の計算法を学ぶことが今回の目的。

問題１　次のような一般項を持つ数列の極限を求めよ。

【考え方】

このタイプの極限の計算は、最高次の項をくくりだすとよい。

たとえば、（１）のばあいは、

　　

n→∞のとき

　　

になるので、

　　

になる。

（２）の場合は、分子分母の最高次のn²をくくりだす分母、分子でくくり出すとよい。

　　

n→∞のとき1/n²→0だから、

　　

したがって、極限の公式
　　

より、

　　

となる。

【解】

（１）
　　

n→∞のとき

　　

だから、

　　

（２）

　　

n→∞のとき

　　

よって、

　　

（３）

　　

n→∞のとき

　　

だから、
　　

したがって、

　　

（４）　0≦｜cosnx｜≦1だから

　　

n→∞のとき

　　

だから

　　

よって、

　　

（解答終了）

問題２　次の極限値を求めよ。

【考え方】

（１）　分母分子で最大の項はだから、これで分母分子を割ると

　　

0<2/3<1、0<1/3<1だから、n→∞のとき

　　

したがって、
　　

つまり、

　　

（２）　これは次のように
　　
の有理化をするとよい。

　　

√nで分母分子を割ると

　　

n→∞のとき

　　

したがって、
　　

よって、

　　

これをまとめて解答を作ればよい。

今回は基本だけで、次回はより複雑な数列の極限を求めることにする。

計算問題だけでは単調なので、最後に次の問題を解くことにする。

問題３　数列
　　
が
　　
の関係を満たすとき、次の極限を求めよ。

　　

【解】

（１）

　　

n→∞のとき
　　

つまり、

（２）

　　

で、
　　

したがって、

　　

（３）　（２）より

　　

したがって、

　　

つまり、

　　

（解答終了）

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