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確率の初歩2 順列 [ネコ騙し数学]

確率の初歩2 順列


順列 異なるn個の中からr個(r≦n)とった順列

  

特に

  

である。

ここで、

  

であり、

  

と定義する。

 


例 5人を一列に並べる並べ方(順列)は

  

5人から3人をとった順列は

  



問1 次の等式を証明せよ。

  

【解】

(解答終了)

 


問2 男子10人、女子5人の生徒の中から会長、副会長、書記を選ぶとする。次の問いに答えよ。

(1) 全部で何通りの選び方があるか。

(2) その中に少なくとも1人の男子を選びたい。このような選び方は何通りあるか。

【解】

(1) 男子10人、女子5人、あわせて15人の中から会長、副会長、書記の3人を選ぶのだから

  

よって、2730通り。


(2) 男子が1人も含まれない、つまり、すべて女子の場合の数は、女子5人から3人を選ぶので

  

すべての場合の数から、男子が1人も選ばれない場合の数を引いたものと等しいので、

  

よって、2660通り。

(解答終了)



問3 0,1,2,3,4,5の6つの数字からなる異なる4つの数字を選び出し、4桁の数字を作るとき、次のものは何通りあるか。

(1) 全部

(2) 偶数

【解】

(1) 4桁の数字をabcdとすると、aに選べる数字は1〜55通り。

bcdに関しては、aに選んだ残りの5つの数字から3つ選べばよい。

よって、

  

したがって、300通り

(2) abcdが偶数になるのは、d0,2,4のとき。

d=0のとき、残りの5つから3つ選んで並べれば良いので

  

d=2のとき、aになれるのは1,3,4,5の4つの数字。

したがって、

  

d=4のときの場合の数は、d=2のときと同じなので、48。

したがって、60+48+48=156の156通り。

(解答終了)

問4 男子4人、女子3人を並べるとする。

(1) 全部で何通りの並べ方があるか。

(2) 女子3人は必ず隣り合うものとすると、全部で何通りの並べ方があるか。

(3) 女子はどの2人とも隣り合うように並べると何通りの並べ方があるか。

【解】

(1) 7!=7×6×5×4×3×2×1=5040通り

(2) 隣り合う3人の女子を1人と考え、5人を並べる並べ方は

  

1人と考えた女子3人の並び方は

  

よって、

  

したがって、720通り


(3) これは次のように考えるといいにゃ。

男△男△男△男△

女子は△の5つのところに3人並べればよいので、その並べ方は

  

男4人の並べ方は

  

したがって、

  

よって、144通り。

(解答終了)



問5 異なる3個の箱を異なる4個の箱に分配するとき、

(1) どの箱にも何個のボールを入れてもよい場合、全部で何通りの分配する方法があるか。

(2) どの箱にも2個以上のボールを入れない場合、全部で何通りの分配する方法があるか。

【解】

(1) 4³=64通り

(2) 通り

(解答終了)

(1)については、3個のボールをA,B,Cとすると、ボールA,B,Cともにそれぞれ4通りの分配の仕方があるので、

  

通りになる。

これを箱から考えると、

  

または、

  

といった計算になる。

左辺第1項は1個ずつ分配する仕方、第2項は2個と1個、第3項はボール3個を分配する仕方である。

  

だから、としてもよい。
ボール2個を先に箱に入れて、残った3個の箱に2個の玉を一緒に入れるか、2個の玉を先に入れて、残った3個の箱に1個入れるかという考え方の違いに過ぎないので、式の形にこだわる必要はない。


(1)のように重複を許す順列を重複順列という。


この他に、n個の異なる珠を数珠つなぎにn個並べる円順列などがありますが、円順列の場合の数は通りです。




タグ:確率

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