確率の初歩３ 組み合わせ

確率の初歩３　組み合わせ

組み合わせに入る前に、同種のものを含む順列。

§１　同種のものを含む順列

n個のうち、p個は同じもの、q個は同じもの、r個は同じもの、・・・・・・であるときの順列の数は

　　

例　赤い玉が５個、青い玉が３個、黄色の玉が２個で計１０個の玉の順列の数は

　　

問　８枚のカード、A、A、B、B、C、D、E、Fのすべてを１列に並べる。

（１）　並べ方はすべてで何通りあるか。

（２）　同じカードが隣り合わない並べ方は何通りか。

【解】

（１）　８枚のカードのうち、Aと同種のカードが２枚、Bと同種のカードが２枚あるので

　　

（２）　AA、BBと並ぶ並べ方は、AA、BBをそれぞれ１枚と考えると、6！通り。

AA、BBの一方だけが隣り合う並び方は

　　

とおり。

したがって、

　　

（解答終了）

（註）

AAとAが連続してならんでいる並べ方は、AAを１枚のカードと考えて、カードを７枚並べる順列の数と等しい。

つまり、７！通り。

この７！通りの中にはBBと、Bが２枚連続してならんでいる並び方が６！通りあるので、AAとAだけが２万連続でならんでいる並び方は７！−６！通り。

BBとBが２枚連続して並ぶ場合も同様で、AA、BBの一方だけの順列の数は

　　

並べ方全体

　　

から、AA、BBと両方ならんでいる並び方、AA、BBの片方だけがならんでいる並び方の数を引けば、同じカードが隣り合わない並べ方の数が求まる。

§２　組み合わせ

異なるn個からr個（r≦n）とった組み合わせの数は

　　

特に、

　　

である。

問１　男子１０人、女子５人のうちから、５人の候補を選ぶとき

（１）　全部で何通りの方法があるか。

（２）　男子の委員を３人、女子の委員を２人とすれば何通りになるか。

（３）　特定の２人、甲、乙が必ず選ばれる方法は何通りか。

【解】

（１）　男女１５人から５人選ぶのだから

　　

（２）　男子１０人から３人選ぶ組み合わせは通り、女子５人から２人選ぶ組み合わせは通り。

よって

　　

（３）　甲乙の２人は必ず選ばれるので、残りの１３人から３人を選ぶことになる。

よって

　　

（解答終了）

 

問２　６人がある旅館に泊まるのに、２ずつ３室に分かれることになった。

（１）　６人を２人ずつ、A、B、Cの３室に入れる方法は何通りあるか。

（２）　６人を２人ずつ、単に３室に分ける方法は何通りか。

【解】

（１）　A室には６人のうち２人を、B室には４人のうちの２人、C室には残りの２人を入れる。

したがって、

　　

（２）　この場合、A、B、C室という部屋の区別がないので（１）で求めた９０通りを３！=6で割らないといけない。

よって、

　　

（解答終了）

問２の（１）、（２）の違いがわかりますか？

そして、次の問題で混乱の極みに突き落とす(^^ゞ

問３　男子１０人、女子６人の庭球選手の中から混合ダブルスのチームを作るとすると、作り方は何通りあるか。

【解】

　　

（解答終了）

この３！は何処から出てきたのだろうか(^^)

は、妖怪１０人から｛アリス、正邪、ぬえ｝を選び、人間６人の中から｛霊夢、魔理沙、咲夜｝の３人、合せて６人を選ぶ場合の数。

この中から妖怪と人間の混合ペアを作る場合の数が３！だから、この３！をかけないといけないというわけ。

タグ：確率