第１２回 標本調査

第１２回　標本調査

標本調査（一部調査）

統計調査によって、調査の対象となる全体の集合を母集団といい、選び出す、抽出する資料を標本、標本の個数を標本の大きさという。

標本平均の分布

平均m、標準偏差σの度数分布をしている母集団からn個の標本

　　

を抽出する。

これらの標本の平均値

　　

を標本平均といい、標本の標準偏差s

　　

を標本標準偏差という。

復元抽出の場合の標本平均、標本標準偏差を考える。

母集団から大きさnの標本を抽出し、抽出されたn個の確率変数を

　　

とすると、標本平均は

　　

したがって、標本平均の平均は

　　

は互いに独立な確率変数で、Xと同じ確率分布にしたがうから

　　

同様にして、標本平均の分散は、

　　

以上のことから、次のことが言える。

定理　標本分布とその平均、標準偏差

平均値m、標準偏差σの母集団から、復元抽出により無作為に大きさnの標本を取り出すとき、

標本平均の平均と標準偏差は、それぞれ

　　

である。

また、nが十分大きいならば、標本平均の分布は正規平均に近い。

非復元抽出の場合、母集団の大きさをNとすると

　　

であるが、Nが十分に大きければ、

　　

だから、非復元抽出であっても、

　　

と考えてよい。

問１　平均値２０、標準偏差５の母集団から、大きさ９の標本を無作為に復元抽出するとき、その標本平均と標準偏差を求めよ。

【解】

母集団の平均m=20、標準偏差σ=5、標本の大きさn=9だから、

　　

（解答終了）

 

問２　確率変数Xが右の表に従う母集団があるとする。

この母集団から大きさ４の標本を復元抽出するとき、その標本平均の平均と標準偏差を求めよ。

【解】

母集団の平均m、標準偏差σは

　　

標本の大きさn=4だから

　　

（解答終了）

問３　ある工場で製造された同じ種類の品物２０００個の平均値で１５０ｇで、標準偏差が４ｇである。これから２５個の標本を何回もとって重さを調べるとき、２５個の標本平均の平均と標準偏差を求めよ。

【解】

非復元抽出だが、母集団が大きいので、復元抽出とみなすことができる。

m=150g、σ=4g、n=25だから

　　

（解答終了）

非復元抽出として計算すると、

　　

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