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ワンポイントゼミ 無限大、無限小の極限の補足 [ネコ騙し数学]

ワンポイントゼミ 無限大、無限小の極限の補足

 


無限大、無限小に出てきた極限の求め方について補足説明することにする。

  

 

x→0のとき、1−cosx→0、また、x²→0だから、これは不定形。

したがって、ロピタルの定理より

  

と求めることができる。

 

また、半角公式から

  

となるので、

  

ここで、θ=x/2とおくと、x→0のときθ→0となるから

  

 


すこし大袈裟だが、マクローリン展開を利用すると、

  mugen-hosoku-01.png

となるから、

  

x≠0のとき

  

x→0のとき

  

したがって、ハサミ打ちの定理より

  

 




無限大、無限小 [ネコ騙し数学]

無限大、無限小


§1 高位、同位、低位の無限大、無限小


aを実数または±∞とする。

ならば、x→aのときf(x)は無限小であり、(または)ならばx→aのときfは無限大という。


fgが無限小のとき

  mugen-01.png

であるという。


f同位の無限小であるとき、fgに対してα位の無限小であるといい、α位数という


例1

   

だから、sinxxと同位の無限小。

  

だから、1−cosxと同位でxに対して2位の無限小である。

 


fgが無限大のとき

  mugen-02.png

であるという。

fが同位の無限大であるとき、fgに対してα位の無限大であるといい、α位数という。



例2

  

だから、√xxより低位の無限大で、

  

になるので、√xxに対し1/2位の無限大。

また、
  mugen-0.png

だから、xは√xより高位の無限大で、xは√xに対して2位の無限大である。
n
が任意の正の正数であるとき
  mugen-03.png

が成立するので、指数関数は任意の高位の無限大である。



§2 ランダウ(Landau)のスモールオーo、ビッグオーO


  

であるとき、

  

で表し、oランダウ(Landau)のスモールオーという。

また、

  

であるとき、

  

で表し、Oランダウのビッグオーという。


例3

  

だから、

  

また、

  

だから

  


 


問1 次が成立することを示せ。

  

【解】

(1)

  

だから、
  

よって、

  


(2)

  mugen-05.png

よって、

  

(解答終了)

 

定理 f(x)0を含む開区間I級関数であるとき

  

である。

【証明】

マクローリンの定理より

  

をみたすθが存在する。

したがって、

  


は、f(x)I級だから、Iで連続。

かつ、

  

だから、

  

よって、証明された。

(証明終了)

 

以上のことから、次のことが成り立つ。

  

任意の正の自然数に対して

  mugen-09.png

ここで、

  

である。

(2)では偶数次の項の係数が0、(3)では奇数次の項の係数が0で、(2)では偶数次の項、(3)では奇数次の項が出ないので、強めると、次のようになる。

  

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