第２回 広義積分の計算例

第２回　広義積分の計算例

問題１　次の広義積分の値を求めよ。

【解】

（１）　t>0とすると
　　

したがって、

　　

（２）　t>eとすると

　　

ロピタルの定理より

　　

よって、

　　

（３）　t>1とすると

　　

ここで、

　　

だから、

　　

（解答終了）

なお、

　　

は、−x²=sとおき、置換積分を用いると

　　

問題２　次の広義積分は収束するか。収束するならば、その値を求めよ。

　　

【解（？）】

　　

（解答？終了）

と、解いてはいけない。

何故ならば、x=0では連続でなく、公式

　　

を使えないからだ。

（１）は、−1<s<0、0<t<1とすると

　　

の意味であり、
　　

で、ともに発散し有限の値をもたないのでは発散する。

また、0<t<1として
　　

と計算することもできないので注意！！

何故だろうか？

 

問題３　次の広義積分は収束するか。収束するならば、値を求めよ。

【解】

（１）　α=1のとき

0<t<1とすると、

　　

だから

　　

α≠1のとき

0<t<1のとき

　　

ゆえに、

　　

（２）　α≠1のとき
　　

α=1のとき

　　

（３）

　　

と考える。

s>0とすると

　　

t>0とすると

　　

したがって、

　　

（解答終了）

問題３の（１）、（２）の結果をまとめると、次のようになる。

定理　αを実数とする。

（１）　広義積分が収束する必要十分な条件はα<1である。

（２）　広義積分が収束する必要十分な条件はα>1である。

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