この広義積分の値を求められますか？ ガンマ関数、ベータ関数の序論にかえて

次の広義積分の値を求めるのは一見簡単そうですが、この値を求められますか？

問題　次の広義積分の値を求めよ。

　　

【解】

x=sin²θとおき、x=0のときθ=0、x=1のときθ=π/2とすると、

　　

そして、

　　

となるから、

　　

（解答終了）

これは、広義積分だから、実際はもう少し真面目に計算しないといけないけれど、まぁ、こうなる。

　――うるさいことを言うやつの口封じをするために、x→0+0のときθ=0+0、x→1−0ときθ=π/2−0――

x=sin²θという変数変換を思いつけば簡単に解けるけれど、しかし、この変換を自力で思いつける奴はそうそういないだろう。

ベータ関数やガンマ関数を知っている人は、

　　

と、この広義積分の値を求めるかもしれない。

そして、x=sin²θという変換は、このベータ関数の中で出てくるものだ（ベータ関数の三角関数表示）。

これまで長々と広義積分の話をしてきたのは、このガンマ関数Γ(s)とベータ関数B(p,q)という新しい関数導入の下準備。

今日から、こういった話になるので、少し面白くなると思うにゃ。

そして、取ってつけたようなラプラス変換の話までする予定です。

なお、
上の広義積分は次のように値を求めることもできる。
　　

だから、

　　

上の計算では

　　

という積分の公式を使っている。

こちらも、広義積分なので、もう少し細かい議論が必要になるが・・・

やるからには、ちゃんとやるケロ！！

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第６回 ガンマ関数入門

第６回　ガンマ関数入門

s>0に対して

　　

は収束し、（１）式で定義される関数Γ(s)をガンマ関数という。

ガンマ関数の性質を調べることにする。

まず、s=1のときのガンマ関数の値を求めることにする。

　　

また、

　　

を部分積分すると、

　　

したがって、s>0のとき

　　

である。

特に、sが自然数nであるとき、（２）式から

　　

このことから、ガンマ関数は階乗を拡張したものと考えることができる。

もし

　　

と微分と積分の順序の交換が許されるのであれば（証明はしないが、事実、許される）、

　　

だから、

　　

となり、同様にn次導関数は

　　

である。

特にn=2のとき、

　　

となり、ガンマ関数Γ(s)は（下に）凸である。

さらに、（１）の変数をx=t²と変換すると、

　　

よって
　　

s=1/2のとき

　　

である。

（２）式より

　　

したがって、

　　

そして、ここで

　　

と定義すると、

　　

となる。

２重階乗を使わず（４）式を書き換えると、

　　

実関数としてのガンマ関数Γ(s)は、s>0で定義されるが、（２）式を

　　

と書き換え、s=−1/2を代入すると、

　　

と、ガンマ関数をs<0に拡張が可能である。

参考までに、s<0まで解析接続によって拡張されたガンマ関数Γ(s)とその逆数1/Γ(s)のグラフを以下に示す。

なお、下のグラフでは横軸にxをとっている。

　

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