あの積分に立ち返る

あの積分に立ち返る

再び、次の積分に戻る。

　　

何も考えずに、不定積分の公式に使えば

　　

このような答案を試験の際に書くと、大学の先生は、決まって、「広義積分を理解していない」、「公式の濫用だ」と声高に叫ぶ。

そこで、ならばと、複素関数の積分の知識を使って次のように解いてみることにする。

実数で定義される1/xという関数を、次のように、複素数に拡張する。

　　

Zは複素数（全体の集合）で、Z−｛０｝は、複素数から０だけを取り除いたもの。

そうすると、f(z)は0以外の複素平面上の全ての点で正則になる。

そこで、積分の経路を下図のように複素平面上にとることにする。

円弧ABCは半径１の円弧、円弧DEFは半径ε>0の円弧。

そうすると、円弧ABCと線分CD、円弧DEF、線分EAで囲まれた曲線の内部でf(z)は正則だから、この積分路にそった積分の値は０になる。つまり、

　　

積分

　　

は実軸に沿っての積分だから

　　

になる。

ところで、円弧ABCは半径1の円の半円だから

　　

とおくと、

　　

円弧DEFは半径ε>0の半円だから

　　

とおくと

　　

したがって、（１）の積分は

　　

となる。

つまり、

　　

大学の先生が声高に「公式の濫用」と叫ぶ公式⑨がよみがえる(^^ゞ

これまで、複素積分の定積分の応用でやってきたタイプⅡ、タイプⅢ、ジョルダンの補助定理、さらに、

　　

といった積分の値を求めるとき、大学の数学の先生は、自身、⑨の公式と同じ手法をを使っておきながら、⑨の公式だけを声高に非難する(^^ゞ

この手法が胡散臭い（？）ことを知っていながら、確信犯的に⑨の公式（と同じ手法）を使って講義を受けている学生達を幻惑することが多いのだから、なお、質（たち）は悪くて、その罪は重い。万死に値すると言ってもいい(^^ゞ

⑨の能力を過信しすぎだケロ。⑨にそんなことがわかるはずがないにゃ。⑨の能力を舐めてはいけないにゃ。ないことをあることに、あることをないことにし、禁則、タブーを平気で犯すのが⑨であり、その上をゆく⑨³なのだから。

高木貞治の『解析概論』（岩波書店）には次のように書いてある。

 

ε、ε’は独立である。

たとえば、[−1,1]内でx=0において1/xは不連続で

　　

ここでε=ε’とすれば

　　

となるけれど、

　　

は0であることを意味しない。

それは

　　

であるべきだが、この極限は存在しない。故には無意味である。それは収束しない（発散する）。

上記においてが存在しなくても、もしも独立変数ε、ε’の間に特別の関係を付けるならば上の例のように極限値が存在することもある。特にε＝ε’とするときの極限値をCauchyはの主値（value principle）と名づけた。Cauchyは虚数積分の考察（解析函数論の前身）において、そのような極限値に遭遇したのであった。現今でも、文献において、積分の主値なる語が上記の意味で、かりおり、用いられる。

（註：一部編集）

（３）の極限が存在しないことは、たとえば、ε=2ε’とすれば、（３）の値はlog2となり、log1、つまり、０とは違った値になる。ε、ε’の0への近づき方によって極限値が異なってしまい、極限値が１つの値に定まらないことから明らか。

タグ：広義積分 複素積分 微分積分

第２回 三角形の合同条件

第２回　三角形の合同条件

小中学校で、次の３つの三角形の合同条件を習ったと思う。

今回は、前回、導入した公理に基づいた証明を紹介する。

定理６　三角形の合同条件

（１）　２辺と挟角相等

（２）　１辺と両端の角相等

（３）　３辺相等

【証明】

（１）　△ABCと△A’B’C’において、AB=A’B’、AC=A’C’、∠A=∠A’とする。

△A'B'C'を移動させ、AとA’が一致するように、半直線ABとA'B’を重ねる。

AB=A'B'だから、BとB'は重なる。

また、∠A=∠A’だから、半直線ACとA’C’も重なり、AC=A'C'だから、CとC’は重なる。

２点B（B'）とC（C'）を通る直線は１本なので、BCとB'C'は重なる。

よって、

△ABC≡△A’B'C'

（２）　△ABC、△A’B’C’において、BC=B’C’、∠B=∠B’、∠C=∠C’とする。

BC=B’C’であるから、△A’B’C’を移動してB’をB、C’をCに重ねると、辺B’C’と辺BCに重なる。

∠B=∠B’、∠C=∠C’であるから、B’A’とBAが重なり、C’A’もCAに重なる。

２直線の共有点は１だけだから、A’とAは重なる。

よって、△ABC≡△A’B’C’である。

（証明終わり）

（３）のの証明のために次の定理を証明する。

定理７　二等辺三角形の底角は等しい。

【証明】

△ABCを裏返して、A、B、CがA’B’C’になったとする。

図形を裏返しにしても形や大きさは変わらないから△ABCと△A’C’B’において

AB=AC=AC’

AC=AB=A’B’

∠BAC=∠C’A’B’

よって、△ABC≡△A’C’B’　（二辺挟角相等）

∴　∠ABC=∠A’C’B’=∠ACB

（証明終わり）

そして、この定理７を用いて、定理６の（３）を証明することにする。

定理６の（３）の証明

BC=B'C'だから、△A'B'C'を移動してB’とB、C'とCとを重ねると、辺B'C'と辺BCは重なる。

そこで、A'が直線BCに関してAと反対側にくる点をDとする。

△BDAはBD=BAの二等辺三角形なので、∠BDA=∠BAD。

また、△CADもCA=CDの二等辺三角形なので、∠CAD＝∠CDA。

よって、∠BAD=∠BDA。

定理６の（１）の２辺挟角相等より、△ABC≡△DBC。

∴　△ABC≡△A'B'C'

（証明終）


問題　「AB＝A'B'、AC=AC'、∠ABC＝∠A'B'C'ならば△ABC≡△A'B'C'である」は正しいか。

【解】

反例として、次の三角形を上げれば十分でしょう。

つまり、正しくない。

（解答終）

タグ：初等幾何

ネムネコ、Bloggerにアニメーション付きの幾何の問題をアップ！！

ネムネコ、Bloggerにアニメーション付きの幾何の問題をアップ！！

幾何の問題（アニメーション付き）
http://nemneko.blogspot.jp/2017/02/blog-post_31.html


次のような問題。

問題
定まった二等辺三角形ABCの底辺BC上の１点をPとし、等辺AB、AC上にそれぞれ点Q、Rをとり、BQ＝CP、CR＝BPとなるようにすれば、△PQRは底辺BC上の点Pの位置にかかわらず、頂角の大きさが一定な二等辺三角形になることを証明せよ。




簡単な問題だから秒殺ものでしょう。
見た瞬間に答えがわかる人は、点Pが点Bを出発し点Cに向かうとき、線分QRの中点Mの軌跡などを求めて欲しいにゃ。

きっと秒殺できる問題だから、解答なんて野暮なものは不要でしょ(^^)

アニメーションを見たい人は、上記アドレスにアクセスして欲しいケロ。
このアニメーションを見れば、一定の頂角が何になるかは一目瞭然だケロ。

解きやすいスペシャル・ケースから一定値を推測するということは重要なことだと思うにゃ。
この問題の場合、PがBやC重なるとき、さらに、Pが線分BCの中点に達した時など。一定の頂角を教えたようなものだね(^^)

タグ：初等幾何

第５８回 留数定理の定積分への応用 問題編３

第５８回　留数定理の定積分への応用　問題編３

タイプⅢ　

f(z)は複素平面の上半平面Imz≧0で有限個の極を除いて正則であり、またはとする。

このとき、

　　

f(x)が偶関数のとき

　　

f(x)が奇関数のとき

　　

問題１　次の定積分を求めよ。

　　

【解】

　　

とおくと、f(z)は偶関数、

　　

で、上半平面にもつ極は１位の極z=iaのみ。

留数を求めると、

　　

したがって、（２）より

　　

（解答終了）

この問題は、上の公式を使わずとも、次のように計算することができる。

【別解】

　　

とおく。

　　

だから
　　

だから、

　　

右の図の積分路に沿って積分をすると、積分経路内にある極はz=iaだから、留数は

　　

したがって留数定理より

　　

また

　　
だから、

　　

（別解終）

問題２　a>0、b>0のとき、次の定積分の値を求めよ。

　　

【解】

（１）

　　

とおくと、f(z)は奇関数で、上半平面に１位の極z=iaをもつ。

また、

　　

留数を求めると、

　　

したがって、（３）より

　　

（２）

　　

とおくと、これは奇関数。

また上半平面に２位の極z=iaをもち

　　

したがって、留数は
　　

（３）式より

　　

（解答終了）

　　

タグ：複素解析

ねこ騙し流「アキレスと亀」

ねこ騙し流「アキレスと亀」

アキレスと亀という有名な話がある。

足の速いアキレスと足の遅い亀が走り競争することになった。

同一地点から同時に出発したならば勝負の結果は、誰の目にもあきらかだ。そこで亀はハンディキャップをもらう。

そして、ヨーイドン！！

亀がいた地点にアキレスが達したとき、亀は前を行っている。そして、その地点にアキレスが達したとき、亀はさらにその先を進んでいる。その地点にアキレスが達したとき、亀はまだ前にいる。・・・。

したがって、アキレスはいつまで経っても（？）亀に追いつけないというお話。

ゼノンのパラドクスとも呼ばれるお話。

この反論として、次のようなものをあげることができる。

亀のハンディキャップをH、アキレスの走る速さをV(m/秒)、亀の走るv(m/秒)とする。仮定よりV>m。

出発後に、アキレスが亀に追いつく時間をT秒とすると、次のような方程式が成り立つ。

　　

これを解くと

　　

となり有限の時間Tで追いつくことができる。

あ〜、なるほどと思ってはいけない。

与えられている条件は、

　１　亀がハンディキャップをもらうということ

　２　アキレスの走る速さは亀のそれより速い

という２点だけだからだ。

アキレスの走る速さと亀の走る速さが一定という条件はどこにも加わっていない。

にもかかわらず、この仮定を勝手に加えているのだから。

そこでだ、アキレスの走る速さは一定Vで、亀の走る速さvを次のようにするにゃ。

　　

tはヨーイドンからの時間（秒）とする。記号max(a,b)はaとbの小さくない方の値。

このとき、t>0で常に

　　

となり、アキレスは亀より速くて、問題の条件を満たしている。

そして、t秒後のアキレスの位置Xは、スタート地点を0とすると

　　

亀の位置xは、
の場合

　　

の場合は

　　

となり、どちらの場合も、亀がアキレスに抜かれることはない。
亀の走る速さは限りなくアキレスの走る速さに近づくけれど、アキレスの速さよりは遅い。
そして、アキレスと亀の距離は限りなく０に近づくけれど、アキレスが亀に追い付き、追い越すことは起きない。


ただ、この記事を読んで、「ゼノンの主張が正しい」と誤解しないで欲しい。
ここで言いたのは、条件次第でゼノンの主張を否定することも肯定することもできるということだ。
問題が曖昧すぎて、これだけでは真偽が定まらないということだケロよ。

タグ：微分積分

広義積分のおまけ

広義積分のおまけ

問題１　次の等式を証明せよ。

　　

【解】

t=tanxとおくと

　　

だから

　　

また、

　　

そして、積分区間の限界はx=0のときt=0、x→π/2+0のときt→+∞だから
　　

（解答終了）

こう解けば、複素積分や留数定理を使わずに、実積分の広義積分としてこの値を求めることができる。

ちなみに

　　

は、sin²x+cos²x=1をcos²xで割ると

　　

から出てくる。

これで終わると、手抜き呼ばわりされるかもしれないので、もうひとつ広義積分の問題を解くことにする。

問題２　次の積分の値を求めよ

　　

【解】

　　

と部分分数に分解する。

この不定積分は次のように求められる。

　　

したがって、

　　

（解答終了）

すこし補足説明すると、

　　

また、

　　

そして、問題１、２とも積分公式

　　

を使っている。

どこから、x²+2x+1が出てきたかですが、これは

　　

だから、

　　

この程度の積分ならば、実積分、つまり、微分積分の範囲で解くことができるという話です。

なお、昨日紹介した複素積分による手法で問題２の積分の値は求められないので、この点は注意すること。

タグ：広義積分 微分積分

第５７回 留数定理の定積分への応用 問題編２

第５７回　留数定理の定積分への応用　問題編２

タイプⅡ　

f(z)は複素平面の上半平面（Imz≧0）で有限個の極を除いて正則であり、実軸上に極を持たず、かつとする。

このとき、

　　

特に、f(x)が偶関数のとき、

　　

問題１　次の積分の値を求めよ。

　　

【解】

　　

とおくと、これはタイプⅡの条件を満たす。

何故ならば、｜z｜=Rを十分大きく取ると

　　

で、f(z)の上半平面の極はの３点であるから。

極は１位の極だから、留数は

　　

したがって

　　

（解答終了）

留数の計算には

　　

で、αがg(z)の１位の零点であるとき

　　

を使っている。

この問題の場合、h(z)=z⁴、g(z)=z⁶+1として計算している。

また、｜z｜>1のとき

　　

を使っている。

ちなみに、

　　

の不定積分は
　　

となるので、この不定積分の結果を利用し

　　

を求めることも可能である。

 

問題２　次の定積分の値を求めよ。

　　

【解】

（１）

　　

とおくと、これはタイプⅡの条件を満たす。上半平面のf(z)の極はz=iだから、留数は

　　

f(z)は偶関数だから、留数定理より

　　

（別解）

　　

（２）　この積分もタイプⅡの条件を満たす。

　　

となるので、f(z)は上半平面にz=iの２位の極を持つ。

したがって、留数は

　　

f(z)は偶関数だから、留数定理より

　　

（解答終了）

なぜ、f(z)に(z−1)²をかけて微分をすると留数が求まるかですがこれはこういう仕組み。

f(z)がz=aの２位の極をもつとすると、この関数のローラント展開の主要部は

　　

になる。

　　

この両辺をzで微分すると

　　

m（m>1）位の極を持つ場合、

　　

タグ：複素解析

第５６回 留数定理のの定積分への応用の問題編１

第５６回　留数定理のの定積分への応用の問題編１

定理（留数定理）

関数f(z)が単一閉曲線Cを境界とする領域に有限個の孤立特異点を持ち、これら以外では境界Cも含めて正則であるとき、

　　

 

タイプⅠ　
ここでf(X,Y)はX,Yの有理関数。

と置くと、

　　

となり、[0,2π]は単位円周｜z｜=1に移るから、

　　　　

 

問題１　次の定積分の値を求めよ。

　　

【解】

とおくと

　　

さらに

　　

よって、
　　

ここで、

　　

とおくと、f(z)は単位円|z|=1の内部にz=1/2を１位の極として持つ。

したがって、留数は

　　

留数定理より

　　

だから、

　　

（解答終了）

 

問題２　次の定積分を求めよ。

　　

【解】

x=πに関して対称だから

　　

である。

とおくと

　　

さらに

　　

だから、

ここで、

　　

とおくと、f(z)の極はz=1/a、z=a。

したがって、f(z)の留数は

　　

｜a｜<1のとき、単位円｜z｜=1の極はz=aのみだから

留数定理より
　　

｜a｜>1のとき、単位円｜z｜=1の極はz=1/aのみだから

　　

この２つの結果をまとめて

　　

（解答終了）

 

問題３　0<r<Rとするとき、

　　

を求めよ。

【解】

　　
0<a=r/R<1とおき、問題２の結果を使うと

　　

（解答終了）

問題４

　　

【解】

a=bのとき

　　

a≠bのとき

三角関数の倍角公式より

　　

したがって、
　　　

したがて、

　　

ここで、t=2θとおくと、θ=0のときt=0、θ=πのときt=2π、さらにdt=2dθだから

　　

ここで、a²+b²=α、a²−b²=βとおくと

　　

となり
　　

（解答終了）

　　

は、第５３回で求めてあるので、そちらを参照。

 

問題４は、とおいて解くのが一般的だろうが、こうすれば実積分として積分の値を求めることができる。

タグ：複素解析

複素積分の補足説明（留数を求める方法）

複素積分の補足説明（留数を求める方法）

複素解析のところで、留数定理の定積分への応用の具体例についてほとんど述べなかったので、これを明日以降、３回ほどやることにして、その序言のかわりとして、復習をかねて、前回取り上げた問題を例に、留数を求める方法について簡単に説明することにする。

z=aが複素関数f(z)の特異点で１位の極のとき、z=aのまわりでのローラン展開は

　　

したがって、留数は

　　

と求めることができる。

また、g(z)がz=aを１位の零点をもつ正則な関数。h(z)をz=aを零点にもたない正則関数とするとき、

　　

の留数は次のように計算することができる。

　　

何故ならば、

g(z)、h(z)をz=aまわりにテーラー展開するとき

　

となるとすると、
　　

だから。

さらに、補足説明をすると、

　　

なぜ、g(z)にb₀という係数、項が無いかといえば、z=aが１位の零点だから。また、１位の零点だからb₁≠0でもある。

複素関数

　　

とおく。

で、

　　

とおき、この零点、つまり、g(z)=0となる点を求める。

　　

として、２次方程式z²±√2z+1=0を解いてもいいけれど、この方法は少し大変。

そこで、

　　

とおくと、z⁴=−1だから

　　

これからr=1となり

　　

したがって、z⁴+1=0の解は

　　

これでもいいけれど、これでは解が無限に存在するように見えるので、nを非負の整数とし

　　

とすると、n=0,1,2,3の４つに定まる。

したがって、この解はの点になる。

この点を複素平面（ガウス平面）上に描くと右の図のようになる。

 

しかし、この解を次のように求めることも可能。

　　

や、もっと直裁的に

　　

実は、複素関数論的にはこれでもいいんだよね〜。

何故だろうか(^^)

話を、留数の計算に戻す。

g(z)=z⁴+1の零点はどれも１位。

何故ならば

　　

となるから。

そして、複素平面の上側にある点はの２点のみ。

もちろん、２式を使って留数を求めてもいいけれど、計算が大変なので（３）式を使う。

　　

だから、

　　

したがって、

　　

タグ：複素解析

第１７回 ベータ関数と複素解析の留数定理を使って定積分を計算する

第１７回　ベータ関数と複素解析の留数定理を使って定積分を計算する

ベータ関数の定義

　　

（１）式は、

　　

と変数変換すると、

　　

と書き換えることが可能。

特に、p+q=1のとき

　　

一方、複素解析、複素積分の留数定理とは次の定理である。

定理　（留数定理）

関数f(z)が閉曲線Cの内部に有限個の特異点をもち、これらの点以外では曲線C上およびその内部で正則であるとき、次の等式が成り立つ。

　　

複素解析で扱う関数は、実数の変数ではなく複素数の変数であることに注意。そして、iは虚数単位i²=−1である。

また、f(z)のz=α近傍でのローラン展開

　　

の係数A₋₁をz=αにおける留数といい、またはであらわす。

問題　次のことを示せ。

　　

【解】

t=1/xとおくと、x=0のときt=∞、x=∞のときt=0。

また、

　　

よって、
　　

したがて、

　　

x⁴=uとおくと、x=0のときu=0、x=∞のときu=∞。

さらに、

　　

よって、
　　

（３）式でp=3/4とおくと

　　

となるので、
　　

ガンマ関数の倍角公式から

　　

したがって、

　　　　

（解答終）

複素解析の留数定理を使うと次のように積分の値を求めることができる。

【留数定理を使った解答】

　　

の複素平面の上半平面にある極はの２つ。

したがって、留数は
　　

f(z)は偶関数だから

　　

（解答終了）

なお、留数を求める計算では、

g(z)をαを１位の零点としてをもつ正則関数、h(z)をαを零点にもたない正則関数とするとき、

　　

という公式を使っている。

上の問題の場合、g(z)=1+z⁴、h(z)=z²だから

　　

そして、この問題の関数は、複素解析の第５３回で述べたタイプⅡの積分。

タイプⅡ　

f(z)は複素平面の上半平面（Imz≧0）で有限個の極を除いて正則であり、実軸上に極を持たず、かつとすると、

　　

特に、f(x)が偶関数のとき、

　　

を使っている。

ガンマ関数の倍角公式

　　

の導出は、前回の記事で示してある。

タグ：広義積分 微分積分 複素解析