第１１回 ガンマ関数、ベータ関数の問題１

第１１回　ガンマ関数、ベータ関数の問題１

問題１　p>0、q>0のとき、次の広義積分をガンマ関数であらわせ。

　　

【解】

とおくと

　　

x=1にはt=0、x=∞にはt=∞が対応するから

　　

ここで、さらにu=ptとおくと

　　

だから、

　　

（解答終了）

 

問題２　ガンマ関数、ベータ関数を用いて次の値を求めよ。

　　

【解】

（１）　2p−1=3、2q−1=4を解くと、p=2、q=5/2。

したがって、

　　

（２）　2p−1=6、2q−1=4を解くと、p=7/2、q=5/2。

したがって、
　　

で、

　　

よって、

　　

（解答終了）

問題３　次の値を求めよ。

　　

【解】

（１）　とおくととなり、x=1には0、x→∞にはt→1が対応する。

　　
したがって

　　

p−1=5/2、q−1=1/2を解くと、p=5/2、q=3/2だから

　　

ここで、
　　

故に

　　

（２）　t=√xとおくと、x=0にはt=0、x=1にはt=1が対応し、

　　

したがって、

　　

p−1=1、q−1=−1/2を解くと、p=2、q=1/2。
　　

（計算終了）

問題４　次の等式を証明せよ。

　　

【解】

とおくと、x=2t−1。

x=−1のときx=0、x=1のときt=1、そして、dx=2tだから
　　

（解答終了）

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