定積分の値は求められましたか？

「ねむねこ幻想郷」で私の数学の記事を読んでいらっしゃる皆さんは、次の定積分の値を求められましたか？

問題　次の積分の値を求めよ。
　　

ヒントは、下のグラフです。





この積分の答えは、
　２π/√3≒3.627598728
だにゃ。



の値とも一致しているので、間違いはなさそうだ。

次の不定積分は

　　

まず、

　　

とおくと

　　

になるから

　　

これで、不定積分は求まった。

この結果を使って何も考えずに機械的に問題の定積分を計算すると、

　　

へっ、へっ、へっ、へっ。

安易な公式至上主義打倒だにゃ！！

この計算のどこがおかしいか、わかるケロか。

なお、
このように計算してはいけないことのヒントは上のグラフにあるにゃ。





さらに、次の曲を♪



上記の内容は、ネムネコの数学専門ブログ「ねこ騙し数学」にある煽り記事２つを、「ねむねこ幻想郷」用に編集し、一部改変したものです。

平均値の定理の問題

平均値の定理の問題

平均値の定理Ⅰ

関数f(x)が閉区間[a,b]で連続、開区間(a,b)で微分可能ならば

　　

となる点cが少なくとも１つ存在する。

平均値の定理Ⅱ

関数f(x)が閉区間[a,b]で連続、開区間(a,b)で微分可能ならば

　　

となるθが少なくともⅠつ存在する。

b−a=hと置けば、平均値の定理は

　　

である。

 

問題１　f(x)=√x、a=1、b=9のとき、平均値の定理

　　

が成立するcの値を求めよ。

【解】

　　

a=1、b=9だから

　　

（解答終了）

この問題の場合、

　　

で、点cは点a、点bの中点になっている。

 

問題２　のとき、平均値の定理

　　

になるθを求めよ。

【解】

　　

したがって、
　　

（解答終了）

θ=1/2だから、問題２も点aと点a+hの中点になっている。

θ=1/2という数字には何か秘密がありそうな・・・。

問題３　f(x)=x³のとき、等式

　　

となるθについて、を求めよ。

【解】

　　

だから、

　　

両辺のh→0の極限を取ると

　　

左辺の極限

　　

となるから、

　　

（解答終了）

ここでも、θ=1/2という数字が出てきた。

問題４　f(x)は連続な第２次導関数f''(x)を持つ関数で、とする。

平均値の定理によれば

　　

となるθが存在するが、このθがhに関係なく一定であれば、θ=1/2でなければならないことを証明せよ。

【解】

　　

の両辺をhで微分すると、θはhに関係なく一定だから、

　　

両辺をh（h≠0）で割り、h→0の極限を取ると
　　

（解答終了）

これは、もはや、偶然とは呼べないだろう。

実は、

関数f(x)がC²級数で、f''(x)=0ならば、

　　

とするとき、

　　

と必ずなるのであった。

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