今日のアニソン、「ささみさん＠がんばらない」から『浸透圧シンフォニー』

今日のアニソン、「ささみさん＠がんばらない」から『浸透圧シンフォニー』です。

広義積分と複素積分を使って定積分の値を求める

問題　次の積分の値を求めよ。

　　

【解】

まず、

　　

の不定積分を求めることにしよう。

 

　　

とおくと

　　

になるから

　　

不定積分は求まった。

ここで、

　　

と分解。

u=θ−2πとして、右辺第２項の積分を置換積分すると、θ=πのときu=−π、θ=2πのときu=0、さらに、dθ=duとなるので、

　　

ということで、ε>0として

　　

（解答終了）

不定積分を用いてこの定積分の値を求めようとすると、広義積分になってしまう。

【別解】

　　

（解答終了）

微分積分の範囲で解けてしまったね。

また、複素関数の積分と留数定理を使うと、次のように求めることができる。

 

【別解２】

とすると、これはガウス平面（複素平面）の単位円｜z｜=1となり、さらに

　　

となるので、

　　

z²+4iz−1=0の解をα、βとすると

　　

したがって、単位円｜z｜=1の内部にある極はαのみとなり、その留数を求めると

　　

留数定理より

　　

（別解２終了）

タグ：複素解析 広義積分 微分積分