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第14回 広義積分の問題2 [ネコ騙し数学]

第14回 広義積分の問題2



問題1 次の広義積分の値を求めよ。

  

【解】

(1)

  


(2)

  

(3) x=sin²θ0≦θ≦π/2)とおくと

  

x=0のときθ=0x=1のときθ=π/2

よって、

  

(4) t=x²とおくと

  


よって、

  

ここで、

  

とおき、n≧1に対して部分積分を用いると、

  

したがって、

  

I₀

  

だから、

  

したがって、

  

(解答終了)

ベータ関数、ガンマ関数を用いると(3)と(4)は次のように解くことができる。


【別解】


(解答終了)


問題2 f(x)[0,∞)で連続であるとき、次のことを示せ。

(1) f(x)が有界であるならば、は絶対収束する。

(2) f(x)が非負かつ単調減少でが収束するならば、である。

【解】

(1) f(x)は有界だから、[0,∞)において

  

となる定数Mが存在する。

したがって、[0,∞)において

  

したがって、絶対収束する。

 


(2) と仮定すると、[0,∞)においてf(x)≧c

  

となり、は発散する。

が収束することと矛盾するので、である。

(解答終了)

無限級数の場合、が収束するならばは成立するが、

広義積分の場合、が収束するならばという命題は必ずしも成立しないので注意。


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