第５６回 留数定理のの定積分への応用の問題編１

第５６回　留数定理のの定積分への応用の問題編１

定理（留数定理）

関数f(z)が単一閉曲線Cを境界とする領域に有限個の孤立特異点を持ち、これら以外では境界Cも含めて正則であるとき、

　　

 

タイプⅠ　
ここでf(X,Y)はX,Yの有理関数。

と置くと、

　　

となり、[0,2π]は単位円周｜z｜=1に移るから、

　　　　

 

問題１　次の定積分の値を求めよ。

　　

【解】

とおくと

　　

さらに

　　

よって、
　　

ここで、

　　

とおくと、f(z)は単位円|z|=1の内部にz=1/2を１位の極として持つ。

したがって、留数は

　　

留数定理より

　　

だから、

　　

（解答終了）

 

問題２　次の定積分を求めよ。

　　

【解】

x=πに関して対称だから

　　

である。

とおくと

　　

さらに

　　

だから、

ここで、

　　

とおくと、f(z)の極はz=1/a、z=a。

したがって、f(z)の留数は

　　

｜a｜<1のとき、単位円｜z｜=1の極はz=aのみだから

留数定理より
　　

｜a｜>1のとき、単位円｜z｜=1の極はz=1/aのみだから

　　

この２つの結果をまとめて

　　

（解答終了）

 

問題３　0<r<Rとするとき、

　　

を求めよ。

【解】

　　
0<a=r/R<1とおき、問題２の結果を使うと

　　

（解答終了）

問題４

　　

【解】

a=bのとき

　　

a≠bのとき

三角関数の倍角公式より

　　

したがって、
　　　

したがて、

　　

ここで、t=2θとおくと、θ=0のときt=0、θ=πのときt=2π、さらにdt=2dθだから

　　

ここで、a²+b²=α、a²−b²=βとおくと

　　

となり
　　

（解答終了）

　　

は、第５３回で求めてあるので、そちらを参照。

 

問題４は、とおいて解くのが一般的だろうが、こうすれば実積分として積分の値を求めることができる。

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