一様流中に置かれた円柱まわりの流れとダランベールのパラドクス（背理）

一様流中に置かれた円柱まわりの流れとダランベールのパラドクス（背理）

複素速度ポテンシャルfが次の式

　　

で与えられる流れの、｜z｜=aのまわりの流れを考える。

｜z｜=aだから、これは原点を中心とする半径aの円で、この円周上の点は

　　

とあらわすことができる。

したがって、この円周上における複素速度ポテンシャルは

　　

であり、円周方向の速度は

　　

になる。

半径aの円周上の流れ関数はΨ=0で一定だから、流線はこの円周と一致しており、円周方向の速度しか持っていない。

念のために、とおくと

　　

これにr=aを代入すると

　　

となり、同じ結果が得られた。

ここで、は、それぞれ、半径方向の速度、（反時計回りの）円周方向の速度である。

ここからは、流体力学の知識を借りる。

気体のように密度ρの小さい流体は位置エネルギーを無視することができるので、ベルヌーイの式は

　

となる。

ここで、pは半径aの円（柱）上の圧力、は無限遠点での圧力。

よって、

　　

円のx方向の圧力はpcosθだから、y方向の圧力はpsinθだから、この円にかかっているx方向、y方向の力、

　　

となり、この円（柱）には力が働かない！！

つまり、速度が一様な流れの中に置かれた円柱の空気抵抗は０という、それはそれは”有り難い”結果が得られる。

これを、ダランベールの背理（パラドクス）という。

円柱だけではなく、球でも同じ結果が得られる。

流体力学が、まったく役立たずで、かつて、（「数）学者のお遊び」と呼ばれたのも道理だにゃ(^^)

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