関数の連続の問題

関数の連続の問題

問題１

　　

とするとき、関数の連続性を調べよ。

【解】

a∈Rとし、fが点aで連続であると仮定する。

aに収束する有理数の点列（数列）を考えると、

　　

aに収束する無理数の点列を考えると

　　

関数fは点aで連続なのだからaに収束するすべての点列に対して

　　

にならなければならないので、

　　

つまり、この関数が連続になりうる点はa=1/2のみである。

そこで、点1/2の近傍、つまり、｜x−1/2｜<δ（δ>0）を考えると、xが有理数のとき

　　

xが無理数のとき

　　

いずれにせよ

　　

したがって、δ→0のとき

　　

となり連続になる。

fが点1/2で連続であることをε-δ論法で証明したいならば、

任意の正数ε>0に対してδ=εとすると

　　

となるから、関数fはx=1/2で連続である。

以上のことより、x=1/2で連続、それ以外では不連続。

（解答終）

問題２　RからRへの関数がいたるところで連続で、xが有理数のときつねにf(x)=0ならば、fは恒等的に0であることを証明せよ。

【証明】

fは恒等的に0でない、つまり、f(a)≠0である無理数aが存在すると仮定する。

f(a)≠0だから、f(a)>0またはf(a)<0。

f(a)>0の場合、関数fはx=aで連続だから任意の正数ε>0に対して

　　

となる正数δ>0が存在する。

　　

εは任意の正数だからε=f(a)/2とおくと

　　

つまり、f(a)>0のとき、aの近傍ではf(x)>0である。

同様に、f(a)<0のとき、aの近傍ではf(x)<0である。

無理数aの近傍には有理数xが存在し、f(x)>0またはf(x)<0、つまり、f(x)≠0にならなければならないけれど、これはxが有理数であるとき常にf(x)=0であるということに矛盾する。

この矛盾はxが無理数のとき恒等的にf(x)=0でないと仮定したためである。
よって、xが無理数のときも恒等的にf(x)=0となり、証明された。

（証明終）

ちなみに、f(a)<0のときは、とし

　　

の不等式の右辺を使って

　　

とするとよい。

 

【別の証明（？）】

無理数xに収束する有理数の点列をとると、関数fは点xで連続だから

　　

したがって、xが無理数のときもfは恒等的に0である。

よって、証明された。

（証明（？）終）

 

問題３　閉区間[a,b]で連続な関数f(x)のとる値がつねに有理数だけならば、f(x)は[a,b]で定数関数であることを証明せよ。

【証明】

f(x)が[a,b]で定数関数でないとする。

つまり、c∈[a,b]でf(c)≠f(a)とする。

f(c)>f(a)とすると、問題の条件より、a≦x≦cで関数f(x)は連続だから、中間値の定理より

　　

のすべてのβに対してβ=f(γ)となるγがa<γ<cに存在する。

f(a)<β<f(c)を満たす無理数βを１つ取り出すと、β=f(γ)を満たすγがa<γ<cに存在することになり、f(x)が常に有理数の値をとることと矛盾する。

この矛盾はf(x)が[a,b]で定数関数でないと仮定したことに起因する。

よって、f(x)が[a,b]で常に有理数の値だけをとるならば、f(x)は[a,b]で定数関数である。

（証明終）

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