上限と下限

上限と下限

§１　上界と下界

Aを実数Rの空でない部分集合とする。

α∈Rが、任意のx∈Aに対し、α≧xであるとき、αをAの上界という。

β∈Rが、任意のx∈Aに対し、β≦xであるとき、βをAの下界という。

Aの上界（下界）が存在するとき、Aは上に有界（下に有界）であるという。Aが上に有界かつ下に下界であるとき、Aは有界であるという。

例１　空でない実数Rの部分集合

　　

があるとする。

α≧1の実数αに対して、任意のx∈Aはα≧xだから、αはAの上界で、1はAの最小の上界である。

β≦0の実数βに対して、任意のx∈Aはβ≦xだから、βはAの下界で、0はAの最大の下界である。

また、Aは上に有界でかつ下に有界だから、Aは有界である。

§２　上限と下限

空でない実数Rの部分集合Aが上に有界（下に有界）ならば、Aの上界（下界）の全体集合Bには最小数（最大数）が存在する。

Aの上界の最小数をAの上限といい、sup Aあるいはであらわす。

Aの下界の最大数をAの下界といい、inf Aあるいはであらわす。

Aが上に有界（下に有界）でないとき、sup A=+∞、inf A=−∞とあらわす。

定理１

sup A=αである必要十分な条件は、任意のx∈Aに対してx≦α、かつ、任意の正数ε>0に対してα−ε<xを満たすx∈Aが存在することである。

すなわち、

　　

inf A=βである必要十分な条件は、任意のx∈Aに対してβ≦x、かつ、任意の正数ε>0に対してx<β+εを満たすx∈Aが存在することである。

すなわち、

　　

定理２

A⊂Bならば、inf B ≦ inf A ≦ sup A ≦ sup B

【証明】
inf A ≦ sup Aは、上限・下限の定義よりあきらか。

sup A=α、sup B=β、α>βとする。

　　

とおくと、αはAの上限だから

　　

となるx∈Aが存在する。

x∈Aならばx∈Bだからx≦βとなり、矛盾する。

よって、α≦βで、sup A ≦ sup Bである。

inf A=α、inf B=β、β>αとする。

　　

とおくと、αはAの下限だから

　　

となるx∈Aに存在する。

x∈Aならばx∈Bだからx≧βとなり、矛盾する。

よって、β≦αで、inf B ≦ inf Aである。

（証明終了）

例２

　　

とすると、A⊂B。

このとき、inf A = 0、sup A = 1、inf B = −1、supB = 2だから、inf B < inf A < sup A < sup Bとなり、inf B ≦ inf A ≦ sup A ≦ sup Bが成立している。

A⊂Cで、inf C=0、sup C=1だから、inf C = inf A < sup A = sup Cとなり、inf C ≦ inf A ≦ sup A ≦ sup Bが成立している。

問　開区間I=(a,b)とするとき、inf I = a、sup I=bであることを示せ。

【解】

開区間I=(a,b)は

　　

だから、任意のx∈Iならば、a<xかつx<b。

したがって、aは集合Iの下界、bは集合Iの上界である。

inf I=α<aとする。

　　

とすると、定理１より

　　

となり、αがIの下限であることに反する。

したがって、inf I=aである。

sup I= β>bとする。

　　

とすると、

　　

となり、βがIの上限であることに反する。

したがって、sup I=bである。

（解答終了）

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