ちょっと解いてみた
問題 数列
が収束すること示し、その極限値が1/2と1の間にあることを示せ。
【解答】
したがって、数列
は単調減少。
また、
だから
で、0はの下界。
下に有界な単調減少の数列は収束するので、は収束する。
だから、
が収束することはわかった。その極限値を求めることにする。
だから、
とおき、
[0,1]を
n等分に分割した点を
つまり、
とすると、
となる。
f(x)はx≧0で単調減少関数だから、
で
だから、
また、
と変形すると、
で
だから、同様の議論から
したがって、
となる（右図参照）。
だから、ハサミ打ちの定理より
