上限と下限の問題 Part２

上限と下限の問題 Part２

問題１

　　

とするとき、sup A、inf A、max A、min Aを求めよ。

【解】

nのときの集合Aの要素を

　　

とおく。

nが偶数、n=2k（k=1,2,…）のとき

　　

は単調増加列で

　　

nが奇数、n=2k−1(k=1,2,…）のとき

　　

は単調減少列で

　　

したがって、sup A = 1/2、inf A = −1/2、max AとminAは存在しない。

（解答終了）

問題２　数列に関して次のことを証明せよ。

　　

【解】

（１）　すべてのn∈Nに対して

　　

したがって、は数列の上界。

よって、

　　

（２）　すべてのn∈Nに対して

　　

よって、は数列の下界。

したがって、

　　

（解答終）

等号が成立しない例として、一般項が

　　

である数列があげられる。

このとき、

　　

だから、

　　

一方、

　　

この場合、

　　

である。

（解答終）

問題３

A、Bを実数Rの空でなく有界な部分集合として

　　

とおく。次を証明せよ。

sup C = sup A + sup B

【解】

sup A=α、sup =βとおく。

任意のx∈Aに対してx≦α、任意のy∈Bに対してy≦β。

したがって、任意のx+y∈Cに対して、

　　

よって、α+βは集合Cの上界

また、αはAの上限だから任意の正数ε>0に対して

　　

となるx∈Aが存在する。

βはBの上限だから任意の正数ε>0に対して

　　

となるy∈Bが存在する。

よって、任意の正数ε>0に対して

　　

となるx+y∈Cが存在し、α+βはCの最小の上界。

よって、

　　sup C = sup A + sup B

である。

（解答終）

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