高校数学の定積分

高校数学の定積分

高校数学の定積分の定義は、以下のようなものである。

関数f(x)は有界閉区間[a,b]において連続で、[a,b]を

　　

とn等分とし、

　　

とおくと、

　　

例えば、[0,1]で定義されたf(x)=x²の定積分

　　

は、定義（１）にしたがって次のように求めることができる。

　　

（１）を使うと、次のような問題を解くことができる。

問題１　次の極限値を求めよ。

【解】

（１）
　　

[0,1]をn等分し、

　　

とし、

　　

とおくと、

　　

（別解）

[1,2]をn等分し

　　

とし、

　　

とおけば、

　　

（２）

　　

[1,0]をn等分し

　　

とし、

　　

とおくと、
　　

（別解）

[1,2]をn等分し

　　

とし、

　　

とおけば、
　　
（解答終了）

（３）

　　

[0,1]をn等分し、

　　

とし、

　　

とおけば、
　　

ここで、

　　

とおくｔ、x=0のときt=1、x=1のときt=2、dx=dtだから
　　

（解答終了）

問題２　f(x)=x⁴のとき、次の極限を求めよ。

　　

　　

を真面目に計算しろというのでしょうが、そんな面倒なことはやってられないケロ(^^ゞ

【解】

[0,1]をn等分し

　　

とし、

　　

という区間を考えると、を

　　

となるので、は点を1:2に内分する点で、また、f(x)=x⁴は[0,1]で単調増加。

したがって、
　　

また、

　　

さらに、

　　

となるから、はを2:1に内分する点。したがって、

　　

となり、同様に

　　

よって、
　　

（解答終了）

（１）は、

　　

のやとしたものだが、問題２はのとり方によらず積分の値は一定で

　　

になるということを主張しているのであった。

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