第６回 連続関数の積分可能性

第６回　連続関数の積分可能性

定理７　（有界閉区間上の連続関数の積分可能性）

関数f(x)が有界閉区間I=[a,b]上で連続であれば、f(x)はI上で積分可能である。

【証明】

f(x)は有界閉区間I上で連続だから、f(x)はI上で一様連続である。

したがって任意の正数ε>0に対して、ある正数δが存在して

　　

｜Δ｜<δであるIの任意の分割をとると、におけるf(x)の振幅は

　　

よって、
　　

したがって、

　　

となり、f(x)はI上で積分可能である。

（証明終）

定理８

関数f(x)、g(x)が有界閉区間I上で連続で、

　　

かつf(ξ)>g(ξ)となるξ∈Iが存在するならば

　　

である。

【証明】

　　

とすると、条件より

　　

で、h(ξ)>0となるξ∈Iが存在する。

f(x)とg(x)がI上で連続だからh(x)もI上で連続。

よって、ξ≠aかつξ≠bのとき、｜x−ξ｜<δでh(x)>0である正数δが存在し、
　　

ξ=aのとき、a≦x<a+δでh(x)>0である正数δが存在し

　　

ξ=bのとき、b−δ<x≦bでh(x)>0である正数δが存在し

　　

（証明終）

例　閉区間[0,1]で定義される

　　

とg(x)=0（x∈[0,1]）があるとする。

f(x)、g(x)は[0,1]上で積分可能で

　　

つまり、有界閉区間I=[a,b]上で積分可能な関数f(x)、g(x)の場合、f(x)≧g(x)かつf(ξ)≠g(ξ)であるξ∈Iが存在するという場合でも

　　

の等号を外すことはできない。

しかし、I上で連続な関数f(x)、g(x)のとき、f(x)≧g(x)かつf(ξ)≠g(ξ)であるξ∈Iが存在する場合、（２）式の等号が外れて

　　

となる。

有界閉区間I上で連続という条件のほうが、I上で有界かつ積分可能という条件よりも強い条件というわけ。

定理９　（積分の平均値の定理） 

f(x)が有界閉区間I=[a,b]上で連続であるとき

　　

となるξが存在する。

【証明】

f(x)が定数関数であるときは明らか。

そこで、f(x)は定数関数でないとする。

f(x)はI上で連続だから最大値Mと最小値mが存在する。
　　

よって、中間値の定理より

　　

となるξが存在する。

（証明終）

例２　f(x)、g(x)はともにI=[0,1]上の関数で、f(x)=x、

　　

とする。

このとき、

　　

f(x)は[0,1]上で連続だから、ξ=1/2のとき

　　

となり、上の定理が成立するけれど、I上で連続でないg(x)には

　　

であるξは存在しない。

有界閉区間で連続という条件が積分可能性よりもかなり「強い条件」であることがわかってもらえるのではないだろうか。

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