曲線y=f(x)の接線ってなんだろう？

曲線y=f(x)の接線ってなんだろう？

 

曲線y=f(x)上の点(a,f(a))における接線について考える。

小さな数h≠0を選び、(a,f(a))と(a+h,f(a+h))の２点を通る直線（割線）を引く。hをさらに小さくして0に限りなく近づけたときに、この直線（割線）が 一定の直線に近づくならば、この一定の直線を曲線y=f(x)の点(a,f(a))における接線という。

 

割線の傾きは

　　

だから、接線の傾きは

　　

になる。

したがって、(a,f(a))における曲線y=f(x)の接線の傾きがf'(a)だから、接線の方程式は

　　

である。

これが微分（係数）の図形的な意味である。

 

例１　曲線y=f(x)=｜x｜のx=0における接線の有無について考えてみる。

h>0のとき

　　

h<0のとき

　　

x=0における曲線f(x)の接線が存在するならば、極限値

　　

が存在しなければならないが、

 　　

だから、

　　

は存在しない。

つまり、この曲線のx=0における接線は存在しない！！

この曲線は、例えば、x軸（y=0）と原点で”接している”――接する：曲線が直線と一点だけで出合う――けれど、x軸はこの曲線の原点Oにおける接線ではない。

 

例２　曲線y=f(x)=x³のx=0における接線

x=0における接線の傾きは

　　

したがって、この接線の方程式はy=0である。

そして、y=x³とy=0は原点で”交わっており”、原点(0,0)はy=x³とy=0の交点（？）である。

 

例３　曲線y=f(x)=x³のx=1における接線

x=1における接線の傾きは

　　

したがって、x=1における接線の方程式は

　　

そして、y=x³のx=1における接線の方程式とy=x³は点(−2,−8)で交わる。

つまり、国語辞典的な「接する」の定義である”数学で、曲線が直線と一点だけで出合うこと”からすると、曲線y=x³のx=1における接線y=3x–2 は曲線y=x³と接していないことになってしまう(^^ゞ

 

「接点は交点ではない」という人がいるなど、接線の定義――数学の定義と日常的・国語辞典的な定義――の混迷は深いようだ。

 

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