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高次導関数 [ネコ騙し数学]

第9回 高次導関数

 

区間Iで定義された関数f(x)Iで微分可能、導関数f'(x)Iで微分可能なとき、f2回微分可能であるという。このときf'(x)の導関数をf第2次導関数といい、y=f(x)第2次導関数

  

などであらわす。

同様にf(x)の第n–1次導関数Iで微分可能であるとき、fn回微分可能であるという。このとき、の導関数をn次導関数といい、

  

などであらわす。

また、

  

と定義する。

 

区間Iで定義された関数f(x)In回微分可能で、さらにIで連続であるとき、fI級であるといい、f(x)Iで何回でも微分可能なときfI級という。



例1

f(x)=x³x∈R)とすると、

  

だから、f(x)R上で級である。


 

l'Hospital-dame-001.png例2

  

とすると、

  

よって、f(x)は1回微分可能だがf'(x)x=0で不連続だから級ではない。


 

問1 次のことを示せ。

(1) x=x(t)y=y(t)ならば

  

(2) x=f⁻¹(y)ならば

  

[略解]

(略解終)


 

問2 次の第n次導関数を求めよ。

[略解]

 

(略解終)


 

問2の(1)の結果を用いると、

  

だから、

  

である。


 

定理

関数f(x)g(x)がn回微分可能ならば、αf(x)+βg(x)αβは実数の定数)、f(x)g(x)n回微分であって、

  

[証明]

(1) 略

(2) n=1のとき

  

だから成立。

n=lのとき成立すると仮定する。

すなわち、

  

n=l+1のとき

  

(証明終)


タグ:微分積分

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