関数の極大と極小 [ネコ騙し数学]
関数の極大と極小
点aを除くaの近傍の全てのxにおいてf(x)<f(a)であるとき、f(x)はx=aで極大であるといい、f(a)を極大値という。点aを除くaの近傍の全てのxにおいてf(x)>f(a)であるとき、f(x)はx=aで極小であるといい、f(a)を極小値という。極大値、極小値を合せて極値という。
定理 関数f(x)が点aで微分可能で、かつ、この点で極値をとれば、f'(a)=0である。
[証明]
f(x)が点aで極大であるとする。
f(x)が点aで極大だからf(x)<f(a)。
x<aのとき、
x>aのとき、
よって、f'(a)=0である。
f(a)が極小値のときも同様。
(証明終)
f(x)が開区間Iで微分可能、点a∈Iでf(x)が極値をとるとき、f'(a)=0である。
f(x)=x³(x∈R)とすると、f'(x)=3x²でf'(0)=0であるが、f(x)はx=0で極値を取らない。つまり、上の定理の逆、「f'(a)=0ならばx=aでf(x)は極値をとる」は、一般に成立しない。
定理 関数f(x)は点aの近傍で連続、aを除く点aの近傍で微分可能とする。x=aの前後で、f'(x)>0からf'(x)<0に変化するときf(x)はx=aで極大、f'(x)<0からf'(x)>0に変化するときx=aで極小である。
[証明]
x<aでf'(x)>0ならばf(x)は単調に増加し、x>aでf'(x)<0ならば単調に減少するから、x=aのとき極大でなる。
x<aでf'(x)<0ならばf(x)は単調に減少し、x>af'(x)>0ならば単調に増加するから、x=aのとき極小である。
(証明終)
f(x)=|x|はx=0で極小であるが、x=0で微分可能でないので、f'(0)は存在しない。しかし、
でx=0の前後でf'(x)の符号が−から+に変じており、上の定理が成り立っていることがわかるだろう。
定理 f(x)が点aの近傍で微分可能で、かつ、f''(a)が存在するとき、
[証明]
だから、f'(x)はx=aで連続であり、xがaに十分近いとき、f''(a)とは同符号である。
したがって、
f''(a)>0、x<aのとき
f''(a)>0、x>aのとき
よって、x=aの前後でf'(a)の符号が負から正に変わっていて、f(a)は極小値である。
f''(a)<0のときも同様。
(証明終)
f(x)が点aを含むある開区間Iで2回微分可能でf''(x)が連続であるとき、上の定理は
テーラーの定理(n=2)
となるcがaとxの間にすくなくとも1つある
を使うと次のように証明できる。
xをx∈Iかつx≠aである任意の点とする。
テーラーの定理とf'(a)=0より
となるcがaとxの間にある。
f''(x)はIで連続だから、点xと点aが十分近いとき、f''(c)とf''(a)は同符号。
したがって、f''(c)>0のとき、x≠aだから
よって、f(a)は極小値である。
同様に、f''(c)<0のときf(x)<f(a)となり、f(a)は極大値である。
先にあげたf(x)=x³の場合、f'(x)=2x²、f''(x)=6xだから、f'(0)=0、f''(0)=0だから、2次導関数の符号をを用いた極値の判定は出来ない。
f(x)=x³の時のx=0のようにf'(a)=0、f''(a)=0である場合、f(a)をx=aで3次でテーラー展開して判定すればよい。
となることから、
になる。
3次導関数f'''(x)が点aで連続でxとaが十分に近いとき、f'''(c)とf'''(a)は同符号。よって、f'''(a)>0のとき、x<aならばf(x)<f(a)、x>aならばf(x)>f(a)。したがって、f(x)はx=aで極値を取らない。f'''(a)<0のときも同様に、f(x)はx=aで極値を取らない。
このように2次より高次の導関数を用いて極値の判定を行うことが可能である。