凸関数と凹関数 [ネコ騙し数学]
第12回 凸関数と凹関数
区間Iで定義された関数f(x)が、Iの任意の点x₁、x₂(x₁<x₂)に対して、x₁<x<x₂ ならば
であるとき、f(x)を凸関数という。また、このとき、f(x)は下に凸という。
であるとき、f(x)を狭義の凸関数という。
また、 –f(x)が凸関数であるとき、f(x)を凹関数という。
x₁<x<x₂ とすると、(1)式は
と変形され、さらに、
とおくと
となる。
したがって、f(x)が凸関数のとき、曲線y=f(x)上の任意の2点(x₁,f(x₁)と(x₂,f(x₂))を結ぶ線分は、曲線y=f(x)の下側にはくることがない。
また、f(x)が凸関数のとき、
が成立し、
直線AC勾配≦直線ABの勾配≦直線CBの勾配
である。
aを区間Iの内部の点とする。関数f(x)が点aの左近傍で狭義凸(狭義凹)、点aの右近傍で狭義凹(狭義凸)、つまり、点aの前後で凹凸が入れ替わるとき、曲線y=f(x)上の点(a,f(a))を曲線の変曲点という。
例 点(0,0)は曲線y=x³の変曲点である。
定理 (凸関数と2次導関数)
関数f(x)が区間Iで連続、区間Iの内部で2回微分可能とする。f(x)がIで凸関数である必要十分な条件は、Iの内部でf''(x)>0であることである。
[証明]
区間Iの内部の任意の点をa、b(a<b)、a<x<bとする。
十分)
f(x)はIの凸関数だから
f(x)は微分可能だから
f'(x)はIの内部で(広義)単調増加であり、よって、f''(x)≧0である。
必要)
Iの内部でf''(x)≧0とすると、f'(x)はIで(広義)単調増加。区間Iの任意の2点a,bをとり、a<x<bとすると、平均値の定理より
であるξとηが存在する。
ξ<ηだから、
よって、f(x)はIで凸関数である。
(証明終)
定理 関数f(x)が区間Iで連続、区間Iの内部で2回微分可能とする。Iの内部でf''(x)>0ならば、狭義凸関数である。
[証明]
Iの内部でf''(x)>0とすると、f'(x)はIで(狭義)単調増加。
区間Iの任意の2点a,bをとり、a<x<bとすると、平均値の定理より
であるξとηが存在する。
ξ<ηだから、
よって、f(x)はIで狭義凸関数である。
(証明終)
次の定理は変曲点の定義より明らかだろう。(本当に(^^ゞ)
定理 関数f(x)が区間Iで連続、Iの内部で2回微分可能とする。aがIの内部の点で点(a,f(a))が変曲点であるならば、f''(a)=0である。
注意 y=f(x)=x⁴のとき、f'(x)'=4x³、f''(x)=12x²だからf''(0)=0になるが、y=x⁴は凸関数。したがって、上の定理の逆、「f''(a)=0ならば(a,f(a))は変曲点である」は一般に成立しない。