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凸関数と凹関数 [ネコ騙し数学]

第12回 凸関数と凹関数


 


凸graph-0001.png区間Iで定義された関数f(x)が、Iの任意の点x₁x₂x₁<x₂)に対して、x₁<x<x₂ ならば


  

であるとき、f(x)凸関数という。また、このとき、f(x)下に凸という。


  

であるとき、f(x)狭義の凸関数という。

また、 –f(x)が凸関数であるとき、f(x)凹関数という。

 

x₁<x<x₂ とすると、(1)式は

  

と変形され、さらに、

  

とおくと

  

となる。

したがって、f(x)が凸関数のとき、曲線y=f(x)上の任意の2点(x₁,f(x₁)と(x₂,f(x₂))を結ぶ線分は、曲線y=f(x)の下側にはくることがない。

 

また、f(x)が凸関数のとき、

  

が成立し、

  直線AC勾配≦直線ABの勾配≦直線CBの勾配

である。

 

aを区間Iの内部の点とする。関数f(x)が点aの左近傍で狭義凸(狭義凹)、点aの右近傍で狭義凹(狭義凸)、つまり、点aの前後で凹凸が入れ替わるとき、曲線y=f(x)上の点(a,f(a))を曲線の変曲点という。

 

例 点(0,0)は曲線y=x³の変曲点である。



定理 (凸関数と2次導関数)

関数f(x)が区間Iで連続、区間Iの内部で2回微分可能とする。f(x)Iで凸関数である必要十分な条件は、Iの内部でf''(x)>0であることである。

[証明]


区間Iの内部の任意の点をaba<b)、a<x<bとする。

十分)

f(x)Iの凸関数だから

  

f(x)は微分可能だから

  

f'(x)Iの内部で(広義)単調増加であり、よって、f''(x)≧0である。

必要)

Iの内部でf''(x)≧0とすると、f'(x)Iで(広義)単調増加。区間Iの任意の2点a,bをとり、a<x<bとすると、平均値の定理より

  

であるξηが存在する。

ξ<ηだから、

  

よって、f(x)Iで凸関数である。

(証明終)

 


定理 関数f(x)が区間Iで連続、区間Iの内部で2回微分可能とする。Iの内部でf''(x)>0ならば、狭義凸関数である。

[証明]

Iの内部でf''(x)>0とすると、f'(x)Iで(狭義)単調増加。

区間Iの任意の2点a,bをとり、a<x<bとすると、平均値の定理より

  

であるξηが存在する。

ξ<ηだから、

  

よって、f(x)Iで狭義凸関数である。

(証明終)

 

次の定理は変曲点の定義より明らかだろう。(本当に(^^ゞ)

 

定理 関数f(x)が区間Iで連続、Iの内部で2回微分可能とする。aIの内部の点で点(a,f(a))が変曲点であるならば、f''(a)=0である。

 

注意 y=f(x)=x⁴のとき、f'(x)'=4x³f''(x)=12x²だからf''(0)=0になるが、y=x⁴は凸関数。したがって、上の定理の逆、「f''(a)=0ならば(a,f(a))は変曲点である」は一般に成立しない。



タグ:微分積分

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