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無限大、無限小とランダウ記号 [ネコ騙し数学]

無限大、無限小とランダウ記号

 

§1 関数の無限大、無限小

aを実数または±∞とする。ならば、x→aのときf(x)無限小であるという。ならばx→aのときf(x)無限大であるという。

 

関数f(x)g(x)が点aで無限小のとき、

  14muge-siki-001.png

という。

 

例1

f(x)=x²,g(x)=xとすると、x→0のとき

だから、f(x)g(x)より高位の無限小。

f(x)=sinxg(x)=xとすると、

だから、f(x)g(x)と同位の無限小。

f(x)=xg(x)=x²とすると、

  landau-siki-002.png

だから、f(x)g(x)より低位の無限小。

 

関数f(x)g(x)が点aで無限大のとき、

  14mugen-siki-002.png

という。



例2

f(x)=logxg(x)=xとすると、

  

だから、logxxよりも低位の無限大。

g(x)=xとすると、

  

だから、xよりも高位の無限大。



問 次のことを示せ。

[解答(?)]

ロピタルの定理より

  landau-siki-004.png

[解答(?)終了]

 

 

§2 ランダウの記号

 

x→aのとき、f(x)/g(x)が無限小、つまり、

  

のとき、

  

で表す。この記号o(g(x))ランダウ記号oランダウのスモール・オー)という。特に、のとき

  

と定める。

 

例3 f(x)=sinxは、x→0ならばf(x)→0だから

  

また、f(x)=x²g(x)=xとすると、x→0のとき、

  

だから、

  

しかし、f(x)=xg(x)=x²のとき、

  

だから、ではない。

つまり、

  

は、一般に成立しない。

 

 

x→aのときに、f(x)/g(x)が有界にとどまるならば、これを

  

で表す。(Oランダウのビッグ・オーという)

特に、

  

のとき、

  

である。

 

例4

x→0のとき、

  

だから、

  

また、x0に限りなく近いとき(ただし、x≠0

  

だから、有界。

よって、

  

である。

 

ラウンダウ記号にはスモール・オーoとビッグ・オーOの2種類があるのだが、以降、スモール・オーo、つまり、o(g(x))をランダウ記号と呼ぶことにする。

 


タグ:微分積分

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