問題とその答え

 

問題　次の関数f(x)について下の問に答えなさい。

　　

（１）　次の極限を求めなさい。

　　

極限を求める際にロピタルの定理を使ってよいものとする。

 

ロピタルの定理
関数f(x)、g(x)は開区間(a,b)で微分可能な関数とする。

、g'(x)≠0のとき、が存在すれば、も存在し、

　　

である。

 

（２）　この関数はx=0で右側微分可能でしょうか。つまり、次の右極限

　　

が存在するでしょうか。存在するならば、その値は。

 

（３）　閉区間[0,a]（a>0）で積分可能ですか。

積分可能ならば、

　　

を求めてください。

 

［解］

（１）　ロピタルの定理より

　　

 

（２）

　　

だから、

　　

したがって、x≠0のとき

　　

だから、

　　

は存在しない。

 

（３）　f(x)は閉区間[0,a]（a>0）で連続。したがって、f(x)は[0,a]で積分可能。

　　

x=0における（右側）微分係数は

　　

x>0のとき

　　

したがって、x≧0で

　　

が成立する。

よって、

　　

 

（y=xlogxのグラフは❍（原点）を含まない。）

［解答終］

 

x>0のとき

　　

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