微分法を用いた相加平均≧相乗平均の証明 [ネコ騙し数学]
微分法を用いた相加平均≧相乗平均の証明
問題 次の問に答えよ。
(1) であることを証明せよ。
(2) ならばであることを証明せよ。
(3) ならば
であり、等号が成立するのはのときに限ることを示せ。
[解]
(1) とおくと、
x<0でf'(x)<0、x>0でf'(x)>0だから、f(x)はx=0で極小(最小)である。
したがって、
(2) とおくと、
そして、(1)より
よって、
等号成立が成立するのは、のとき、すなわち、
(3)
とおくと、
よって、(2)より
等号が成立するのは、、すなわち、のときである。
(証明終了)
となるcがxとaの間にある。
したがって、f''≧0のとき、つまり、凸関数のとき、
である。
とおくと、これは点(a,f(a))における接線だから、f(x)のグラフは接線の上側にあることになる。
は凸関数で、問題の(1)の不等式の右辺はx=0における曲線の接線だから、直接的にではないけれど、相加平均≧相乗平均の証明で凸関数の性質を使っていると言えるのかもしれない。