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第17回 ロピタルの定理 [ネコ騙し数学]

第17回 ロピタルの定理

 

ロピタルの定理Ⅰ

関数f(x)g(x)は点aのある近傍で連続、aを除いた近傍で微分可能、かつ、g'(x)≠0とする。このとき、f(a)=g(a)=0であり、lh-siki-001.pngが存在するならばlh-siki-002.pngも存在し、

  lh-siki-000.png

である。

[証明]

xを点aの近傍の点とする。

x>aのとき、f(x)g(x)は閉区間[a,x]で連続、開区間(a,x)で微分可能、かつ、g'(t)≠0t∈(a,x))だから、コーシーの平均値の定理より

  lh-siki-003.png

であるcが存在する。

したがって、x→a+0のときc→a+0だから、

  lh-ski-006.png

である。

x→a–0 のときも同様に

  

が存在するので、

  lh-siki-005.png

したがって、

  lh-siki-000.png

(証明終了)

 

 

ロピタルの定理Ⅱ

関数f(x)g(x)は点aのある近傍で連続、aを除いた近傍で微分可能、かつ、g'(x)≠0とする。このとき、であり、が存在するならばも存在し、

  lh-siki-000.png

である。

 

ロピタルの定理Ⅱのように、ロピタルの定理の条件がf(a)=g(a)=0ではなく、の場合は、

  lh-siki-007.png

とおき、F(x)G(x)にロピタルの定理Ⅰを適用すると、

  lh-siki-008.png

となり、ロピタルの定理Ⅱの証明が証明される。

 

 

ロピタルの定理Ⅲ

関数f(x)g(x)が無限区間(a,∞)で連続で微分可能で、かつ、g'(x)≠0とする。このとき、であり、が存在するならば、も存在して、

  lh-siki-011.png

である。

[証明]

a>0とする。

t=1/xとおくと、(a,∞)(0,1/a)に写される。したがって、x→∞t→0+0になる。

  lh-siki-009.png

とおくと

  lh-siki-010.png

となるから、

  

よって、ロピタルの定理Ⅱより、が存在して、

  shine-kono-kusoblog!!.png

したがって、

  lh-siki-011.png

a<0のときも同様に証明される。

(証明終了)

 

 

ロピタルの定理Ⅳ

関数f(x)g(x)は開区間(a,b)で微分可能でg'(x)≠0とする。このとき、

  

で、さらにが存在するならば、も存在し、

  lh-siki-018.png

である。

[証明]

とおき、0<ε<1とする。

このとき、δ₁>0が存在して

  lh-siki-012.png

a<x<c<a+δ₁のとき、[x,c]でコーシーの平均値の定理を用いると、

  lh-siki-013.png

であるξが少なくともⅠつ存在する。

この式は次のように変形可能。

  lh-siki-014.png

だからg(x)>0としてよく、

   lh-siki-015.png

cを固定すると、だから

  lh-siki-016.png

よって、適当なδ₂>0を選ぶと、

  lh-siki-019.png

したがって、δ=min(δ₁,δ₂)にとると


  

よって、

  lh-siki-018.png

である。

(証明終)

 

同様に、次のロピタルの定理Ⅴが証明される。

 

ロピタルの定理Ⅴ

関数f(x)g(x)は開区間(a,b)で微分可能でg'(x)≠0とする。このとき、

  

で、さらにが存在するならば、も存在し、

  

である。

 

そして、ロピタルの定理Ⅳとロピタルの定理Ⅴから、次のロピタルの定理Ⅵが証明される。

 

ロピタルの定理Ⅳ

関数f(x)g(x)は点aを除く点aの近傍で微分可能でg'(x)≠0とする。このとき、

  

で、さらにlh-siki-001.pngが存在するならば、lh-siki-002.pngも存在し、

   lh-siki-000.png

である。


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