積分形式のテーラーの定理 [ネコ騙し数学]
積分形式のテーラーの定理
関数f(x)は区間Iで
級で、a、b∈Iとする。
このとき、
が成立する。
この式の右辺を部分積分すると、
同様に部分積分すると
したがって、
さらに、同様にこの操作を続けてゆくと、
を導くことができる。
これが、積分形式のテーラーの定理である。
微分形式のテーラーの定理は、
したがって、積分形式と微分形式のテーラーの定理とではラグランジュの剰余項
の表現が異なっている。問題は、この２つが同じものかどうかであろう。
積分の第１平均値の定理
関数f(x)、g(x)は閉区間[a,b]で連続、かつ、g(x)≧0とする。このとき、
が成り立つξが少なくとも１つ存在する。
a<bのとき、［a,b]で
だから、積分の第１平均値の定理より
となり、剰余項の表現形式が積分形式と微分形式と異なるもので、同一の定理であることが理解してもらえるのではないだろうか。
定理 （積分形式のテーラーの定理）
f(x)が区間Iで級、a∈I、任意のa∈Iに対し、
である。
特に、fがIで
級で、任意のx∈Iで
ならば、任意のx∈Iで
である。
