対数微分を用いて・・・

問題　関数の増減を調べることにより、次の不等式を導け。

m、nが3<n<mである整数ならば

 

関数の増減を調べるためには、の微分ができなければならない。

この微分を求めるには、x>0、y>0だから、の両辺の対数をとり、それを微分すればよい（対数微分法）。

つまり、

あるいは、

になるので、

と計算することもできる。

なおここで、

であり、

という指数関数の公式を使っている。

 

微分もできたことなので、問題を解くことにする。

 

［解］

したがって、増減表は

よって、はx=eで極大、かつ、最大である。

2<e<3だから、x>3でyは減少する。

 

（１）　問題の条件より3<n、また、yはx>3で減少関数だから、

である。

 

（２）　3<n<mだから

両辺をnm乗すると、

（解答終）

 

ちなみに、2⁴=4²=16だから、n=2、m=4のとき（※）の不等式は等号が成立する。

 

問　次の問に答えよ。

（１）　次の極限を求めよ。

 

（２）　（１）の結果を利用して、次の極限を求めよ。

【答】

 

ちなみに、（１）の

の極限を求めるのに、ロピタルの定理は使えない！！

ロピタルの定理を使うと

 

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