第２２回 数列の極限と関数の極限の融合 [ネコ騙し数学]
第２２回 数列の極限と関数の極限の融合
数列
がaに収束するとは、任意のε>0に対して、ある正の整数mが存在し、
である。
関数f(x)がx→aのときbに収束するとは、任意のε>0に対して、あるδ>0が存在して
であることである。
この数列の極限と関数の極限を結びつける次の定理を紹介する。
定理
である必要十分な条件は、aに収束する任意の数列
に対して
となることである。
【証明】
必要）
だから、任意のε>0に対して、あるδ>0が存在して、
である。
また、
だから、ある正の整数mがあって
である。
よって、
十分）
を否定すると、
となるxが存在する。
特に、δ=1/n>0にとると、
となる
が存在する。
このとき得られたに対しては、
であるが、
が成り立たない。
したがって、証明された。
（証明終）
この定理から、関数の極限を数列の極限を用いて定義してよいことになる。
同様に、数列の極限を用いて、関数の連続は次のように定義される。
関数f(x)は区間Iで定義された関数、a∈Iとする。aに収束するすべての数列
に対して
であるとき、関数f(x)はx=aで連続であるという。
最後に、これまで証明しなかった次の定理を証明する。
定理
関数f(x)が有界閉区間[a,b]で連続ならば、関数f(x)は[a,b]で最大値、最小値をもつ。
【証明 】
fが[a, b]で上に有界でないとすると、
が成り立つ。
n = 1, 2, 3, ・・・と変化させると、
という有界な数列
が得られる。
は有界な数列なので、ボルツァノ・ワイエルシュトラスの定理より収束する部分列
が存在する。そして、その極限をcとすると、
となる。
関数f(x) は連続なので、
となるけれど、
よって、f(c) = +∞となり、有限な値を持たない。
c∈[a,b]でf(c) は[a,b]で定義される関数の点である以上、有限の値を持たなければならない。
これは矛盾である。
よって、f(x)は上に有界である。
f(x) は [a, b] で上に有界なのだから、上限が存在する（実数の連続性）。その上限をMとする。
そして、f(x) が[a,b]で最大値を持たないと仮定すると、f(x) < M となり、M – f(x) ≠ 0となる。
だから、
という関数gは[a, b] で連続となる。
また、仮定より、Mはf(x) の上限なのだから、任意の正の数εに対して
となる x ∈ [a,b] が存在する。
εは任意の正の数なので、
とすると、
となる。ここで、n は自然数。
nは自然数なのだから、いくらでも大きくでき、g(x) には上限がないことになる。
g(x) は有界な閉区間[a,b]で定義された連続関数だから上限があるはずなのに、上限がない。
これは矛盾。
何故、矛盾したかというと、f(x) は[a,b] で最大値をもたないと仮定したから。 よって、f(x) は最大値をもつ。
下に有界をもつこと、最小値をもつことも同様。
（証明終）
