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y²=x²(x+3)からきまるxの関数のyのグラフと接線 [ネコ騙し数学]

問題 次の曲線の概形を書け。

  

【解1】

  

また、

  

だから、

  

となる。

したがって、

  

増減表を書くと

 

x

3

・・・

2

・・・

0

・・・

y₁’

 

0

 

y₁

0

増加

2(極大)

減少

0(極小)

増加

y₁’’

 

 

凸凹

 

変曲点

 

y₂y₁x軸に対して対称だから、曲線の概形は次の通り。


y^2=x^2(x+3)-graph-01.png
 

(解答終)

 

高校レベルの微分を用いれば、上のように解くのが正攻法であろう。

しかし、曲線y²=x²(x+3)は次のように分解することも可能である。

  

このように考えると、次のような解答を作ることができるだろう。

 

【解2】

曲線y²=x²(x+3)

  

と分解する。

曲線y₂は曲線y₁x軸に関して折り返したものだから、y₁だけを考えれば十分。

  

よって、増減表(凹凸表)は次の通り。

x

3

2

y₁’

 

0

y₁

0

減少

2

増加

y₁’’

 

凹凸

 

 

したがって、この曲線の概形は次の通り。


y^2=x^2(x+3)-graph-02.png

【解答終】

 

【解1】と【解2】、どちらが楽かは言わずもがなだろう。

 

y^2=x^2(x+3)-graph-03.pngしかし、こんなことを言いたくて、この問題を解いたわけではない。

【解1】の

  

【解2】の

  

y₁y₂ともに、y²=x²(x+3)から決まるxの関数である。

しかし、解1の関数の場合、x=0で微分不可能であり、また、y₁x=0で極小、y₂x=0で極大である。

x=0で微分可能かによって、原点Oでこの曲線の接線が引けるかどうかの違いも出てくる。

解1の場合、x=0で微分不可能だから接線は存在しないが、解2の場合、x=0y₁y₂ともに微分可能で、接線が2本存在することになる。

原点Oで曲線の接線を引けるかどうか、この差は決定的だケロ。

 

曲線上の点で接線が2本引けるというのも考えてみれば妙な話のように思える。さてさて、この曲線の原点(0,0)における接線は0本か、それとも2本か、なんとも悩ましい話である。

 

出ないと思うけれど、もし、大学入試で「この曲線の原点(0,0)における接線を求めよ」という問題が出題されたら、受験生はどのように答えるのだろうか。

実に興味深い問題である(^^)



なお、この曲線

  

で囲まれている領域の面積Sは、

  

だから、t=x+aとおくと、x=−a →t=0x=0→t=aに対応し、dx=dtだから

  

である。


y^2=x^2(x+3)-graph-04.png
 

 

宿題 曲線y²=x²(x–3) の概形をかきなさい。

 

おそらく、このグラフを書けるヒトは意外に少ないに違いない!!


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