追加問題の答えだケロ！！ [ネコ騙し数学]
追加問題の答えだケロ！！
追加問題 次の問に答えよ。
（１） f(x)がx=0で微分可能であることを示し、x=0におけるf(x)の微分係数f'(0)を求めよ。
（２） f(x)の導関数f'(x)がx=0で連続であることを示せ。
（３） x=0でf(x)は２回微分可能か？
（４） f(0)はf(x)の極値か否かを判定せよ。
ちなみに、
【解】
（１） h≠0とすると、
（２） x≠0では
よって、x≠0のとき
ここで、
だから、
となり、f'(x)はx=0で連続である。
（３） h≠0のとき
したがって、f(x)はx=0で２回微分可能である。
（４） f(0)は極値ではない。
任意のr>0に対して
が成立するように自然数nをとると、点x=0の近傍(–r,r)内に
という点がある。
したがって、r>0をどんなに小さくしても、(–r,r)で
が成立するので、f(0)は極値ではない。
（解答終）
宿題 次の曲線の概形を書け。
【解】
【解】
よって、y²=x²(x–3)をyについて解くと
となり、曲線y²=x²(x–3)は
と、y₁、y₂の２つの曲線に分解することができる。
y₁の凸凹表を書くと
|
x |
0 |
3 |
・・・ |
4 |
… |
|
y |
0 |
0 |
|
4 |
|
|
y'' |
|
|
− |
0 |
＋ |
|
凸凹 |
|
|
凹 |
変曲点 |
凸 |
y₂はy₁をx軸に関して対称だから曲線y²=x²(x–3)のグラフは以下のようになる。
（解答終了）
曲線y²=x²(x–3)には、その近傍に曲線上の点が存在しない点(0,0)が存在する。この(0,0)のように、その近傍に曲線上の点が存在しない点を孤立点と呼ぶ。
参考までに、y²=x³のグラフを以下に示す。
曲線y²=x³上の点(0,0)は尖点という。
以上のことから、曲線
は、a>0のとき曲線上の点(0,0)は接線が２本引ける結節点になり、a=0のとき尖点、a<0のとき孤立点になる。
