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第8回 全微分に関する問題 [ネコ騙し数学]

第8回 全微分に関する問題

 

問題1 次の問に答えよ。

(1) の全微分を求めよ。

(2) xyの関数fgに関して次のことが成り立つことを示せ。

  

【解】

(1)

  

(2)

  

(解答終了)

 

 

問題2 次の問に答えよ。

(1) 2辺がabである長方形の面積をSとする。abがそれぞれΔaΔb変化したときの面積の変化量をΔSとすると、ΔS=bΔa+aΔbであることを示せ。

(2) △ABCが定円に内接しながら微小変化したとき、3辺abcの変化量をΔaΔbΔcとすると

  

が成り立つことを示せ。

【解】

(1) S=abの全微分は

  

微小な変化だからΔS≒dS

よって、ΔS=bΔa+aΔbである。

 

(別解)

  

ΔaΔbは、bΔaaΔbより高次の微小項だから、|Δa|≪1、|Δb|≪1のとき無視することができる。

したがって、ΔS=bΔa+aΔb

 

(2) 定円の半径をRとすると、正弦定理より

  

したがって、

  

同様に、

  

よって、

  

da=Δadb=Δbdc=Δcだから

  

(解答終了)

 

問題2のように、全微分は誤差の評価に応用が可能な場合がある。

 

 

問題3 次の関数は原点(0,0)で微分可能か。

  dai8-tahen-siki-003.png

【解】

(1) (x,y)=(0,0)における偏微分係数を求めると、

  dai8-tahen-siki-005.png

だから、

  

(h,k)→(0,0)のとき、

  

であれば、f(x,y)(0,0)で微分可能、そうでなければ(0,0)で微分可能でない。

h=ty=tとき、t→0として(h,k)(0,0)に近づけると、

  

したがって、f(x,y)(0,0)で微分可能ではない。

 

(2)

(x,y)=(0,0)における偏微分係数を求めると、

  dai8-tahen-siki-005.png

だから、

  

とおくと、|h|≦r、|k|≦rだから、

  dai8-tahen-siki-009.png

したがって、f(x,y)(0,0)で微分可能である。

(解答終了)

 

ちなみに、問題3の関数f(x,y)はいずれも(0,0)で微分可能である。

 

また、(1)のf(x,y)の、(0,0)におけるθ方向の方向微分係数を求めると、

  

原点における方向微分係数がθの値によって変化し、1つの値に定まらないので、f(x,y)(0,0)で微分可能ではない。

同様に、(2)の場合の方向微分係数を求めると、

  

となり、θの値にかかわらず1つの値に定まるので、f(x,y)(0,0)で微分可能ということになる。

 

 


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