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完全形微分方程式 [ネコ騙し数学]

完全形微分方程式

 

関数z=f(x,y)の全微分は

  kanzen-siki-001.png

である。

 

 

問題1 ある関数z=f(x,y)の全微分が(1)、(2)で与えられているとき、関数zを求めなさい。

【解】

(1) zの全微分は

  

だから、

  

①をxで積分すると、

  kanzen-siki-002.png

これを②に代入すると、

  kanzen-siki-003.png

したがって、

  

 

(2)

  

yを固定して、③式をxで積分すると、

  

これを④式に代入すると、

  kanze-siki-004.png

よって、

  

(解答終了)

 

(※) φ(y)xを含まないyだけの関数。

また、

  

となるから、

  

である。


 

この問題は(全)微分の性質を用いて、次のように解いてもよい。

 

【別解】

kanzen-siki-005.png

(別解終)

 

 

定義 1階の全微分方程式

  

の左辺がある関数z=f(x,y)の全微分dzに等しいとき、すなわち、

  

であるとき、完全形であるという。



問題2

関数f(x,y)の全微分が、

  

であるとき、関係式f(x,y)=CCは定数)によって、微分方程式

  

の解が得られる。

 

(1) ならば

  kanzen-siki-006.png

であることを示せ。

 

(2) 次の方程式が

  kanzen-siki-006.png

を満たすことを確かめて、これを解け。

  kanzen-siki-012.png

【解】

(1)

  kanzen-siki-007.png

が連続であるときだから、

  kanzen-siki-006.png

である。

 

(2a) P=x²–y Q=y²–xだから、

だから、yを固定してxで積分すると、

  

また、だから、(1)をこれに代入すると、

  

よって、

  

 

(2b) P=2xyQ=x²–y²とおくと、

  

だから

  kanzen-siki-010.png

にこれを代入すると、

  kanzen-siki-011.png

よって、

  

(解答終)

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