完全微分形微分方程式２ [ネコ騙し数学]
完全微分形微分方程式２
定義
１階の全微分方程式
の左辺がある関数f(x,y)の全微分、すなわち、
であるとき、全微分方程式を完全形であるという。
定理
関数P(x,y)、Q(x,y)の偏導関数が領域
で連続であるとき、次の条件は同値である。
（１） P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0は完全形である。
（２）
【証明】
（１）⇒（２）
P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0は完全形だから、
になる関数f(x,y)が存在する。
よって、
仮定より
は連続だから
も連続で
。
したがって、
（２）⇒（１）
点(x₀,y₀)を定義域内の点とする。
だから、
これを
に代入すると、
Pの偏導関数は連続だから、微分と積分の順序の交換が可能。
よって、
そこで、
と定めると、
したがって、
になり、P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0は完全形である。
（証明終）
以上のことより、完全型微分方程式
の一般解z=f(x,y)は
である。
問 次の微分方程式の一般解を求めよ。
【解】
（１） P(x,y)=x、Q(x,y)=yとおくと、
だから、この微分方程式は完全形。
x₀=0、y₀=0とすると、公式より
（２） P(x,y)=x²–y 、Q(x,y)=y²–xとおくと、
よって、この微分方程式は完全形。
x₀=0、y₀=0とすると、公式より
（解答終）
公式を用いれば、このように機械的に計算することができる。
本によっては、完全形微分方程式の一般解z=f(x,y)を
としているものがあるので、これを証明することにする。
【略証】
これを、
に代入すると、Pの偏導関数は連続だから微分と積分の順序の交換が可能だから、
したがって、
よって、一般解は
（略証終）
確かに、一般解はこのようになるけれど、積分を３回、さらに偏微分を１回しなければいけないので、この公式から一般解を求めるのは大変。だから、使わないほうが身のためだケロ！！
そもそも、前回紹介した完全形の全微分方程式の解法は、これと同じことをやっている。
したがって、この公式は覚える必要は全く無いように思う。
