第１２回 合成関数の（偏）微分の問題 [ネコ騙し数学]
第１２回 合成関数の（偏）微分の問題
問題１ u=f(x,y)が
だけの関数φ(r)であるとする。
（１）
であることを示せ。
（２） u=f(x,y)がC²級の調和関数ならば
であることを示せ。
【解】
（１）
だから、
したがって、
（２） u=f(x,y)は調和関数だから、（１）より
（解答終）
（２）の微分方程式
は、ψ=φ'(r)とおくと、
となるので、変数分離法を用いて解くことができる。
その結果は
となるので、これをrで積分して
と解くことができる。
問題２ 次の問に答えよ。
（１） z=f(x,y)、y=φ(x)のとき、
を求めよ。
（２） z=f(x,y)、x=cosht、y=sinhtのとき、
をもとめよ。
【解】
（１）
fがC²級ならば
なので、
（２）
よって、
fがC²級ならばなので、
（解答終）
問題３ z=f(x,y)、x=rcosθ、y=rsinθのとき、次を証明せよ。
【解】
（１）
（２）
（解答終）
２×２の行列の演算とその逆行列くらいは知っているでしょう？
